Question

【題目】（11分）如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F. 點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE.

（1）請直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值. 進(jìn)而猜想：對于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值. 請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使△PDE的周長最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.請直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出△PDE的周長最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=-+8；

（2）正確，理由參見解析；

（3）“好點(diǎn)”11個(gè)，△PDE的周長最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)（-4,6）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閽佄锞�對稱軸是y軸，所以根據(jù)A,C點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出解析式.（2）把任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，并表示出PD,PF的長，用PD-PF驗(yàn)證；（3）先求出使△PDE的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)，∵DE是定值，考慮PE與PD的和最小，由上題得出的結(jié)論轉(zhuǎn)化成PE與PF的關(guān)系進(jìn)而得出使△PDE的周長最小的點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)；想找到“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，先把三角形PDE的面積表示出來，用梯形面積減去兩個(gè)直角三角形的面積，由x的取值范圍確定S的整數(shù)值有幾個(gè)，再加上前面的使△PDE的周長最小的一個(gè)點(diǎn)，就知道一共“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù).

試題解析：（1）設(shè)y=a+8，將A（-8,0）代入，a=-,∴y=-+8；

（2）設(shè)P（x,-+8）,則PF=8－（-+8）=,過P作PM⊥y軸于M，

則==，

∴PD=+2，∴PD-PF=+2－=2，∴猜想正確.

（3）①在P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，DE大小不變，∴PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長最小，∵PD-PF=2，∴PD=PF＋2，∴PE＋PD=PE＋PF＋2，當(dāng)P,E,F三點(diǎn)共線時(shí)，PE＋PF最小，此時(shí)，點(diǎn)P,E橫坐標(biāo)都為-4，將x=-4代入y=-+8，得y=6,∴P（-4,6）,此時(shí)△PDE的周長最小，且△PDE的面積為12，點(diǎn)P恰為“好點(diǎn)”，∴△PDE的周長最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)（-4,6）.②作PH⊥AO于H,△PDE的面積S=梯形PHOD面積減去兩個(gè)直角三角形△PHE,△DEO的面積=-－3x＋4=－+13，由-8≤x≤0知4≤S≤13，∴S的整數(shù)點(diǎn)有10個(gè)，當(dāng)S=12時(shí)，對應(yīng)的“好點(diǎn)”有1個(gè)，所以“好點(diǎn)”共有11個(gè).