Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），A、C兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上．P是BC邊上一點(diǎn)（不與B點(diǎn)重合），連AP并延長(zhǎng)與x軸交于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上移動(dòng)時(shí)，△AOE的面積隨之變化．
①設(shè)PB=a（0＜a≤2）．求出△AOE的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式．
②根據(jù)①的函數(shù)關(guān)系式，確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)，S_△AOE=2，并求出此時(shí)直線AE的解析式．
③在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出①中函數(shù)的圖象和函數(shù)S=-a+2的簡(jiǎn)圖．
④設(shè)函數(shù)S=-a+2的圖象交a軸于點(diǎn)G，交S軸于點(diǎn)D，點(diǎn)M是①的函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過M點(diǎn)向S軸作垂線交函數(shù)S=-a+2的圖象于點(diǎn)H，過M點(diǎn)向a軸作垂線交函數(shù)S=-a+2的圖象于點(diǎn)Q，請(qǐng)問DQ•HG的值是否會(huì)變化？若不變，請(qǐng)求出此值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：①由相似可以求出OE，△AOE是直角三角形，可以直接求出△AOE的面積．
②把S=2代入得到a=2，PB=2，此時(shí)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式．
③利用描點(diǎn)法畫出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．
④通過作輔助線得到△HRG和△DNQ均為等腰直角三角形，利用勾股定理用含a的式子表示出HG、DQ的值，從而求出定值．

解答：解：①∵B（2，2），且四邊形ABCO是正方形．
∴AB=BC=OC=AO=2
∵PB=a
∴PC=2-a
∵△PCE∽△AOE
∴PC：AO=EC：OE
即（2-a）：2=（0E-2）：OE
解得：OE=

4

a

∴S=

4

a

（0＜a≤2）；

②當(dāng)S=2時(shí)，2=

4

a

求得：a=2，
∴OE=2，
∴E點(diǎn)C點(diǎn)P點(diǎn)重合．
∴P（2，0）
∴E（2，0），設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b則有：

2=b 0=2k+b

解得：

k=-1 b=2

直線AE的解析式為：y=-x+2；

③作圖為：S=

4

a

（0＜a≤2）與s=-a+2的圖象為：

④DQ•HG的值是不會(huì)變化的
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(t，

4

t

)，過H作HR垂直于a軸垂足為R，
過D作DN垂直于MQ垂足為N，易得HR=

4

t

，DN=t，
易證△HRG和△DNQ均為等腰直角三角形，由勾股定理得HG=

4 2

t

，DQ=

2

t
所以DQ•HG=

4 2

t

•

2

t=8．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．