Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且OA＞OB.

（1）求OA、OB的長；
（2）若點(diǎn)E為x軸上的點(diǎn)，且S_△AOE＝，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線解析式，并判斷△AOE與△AOD是否相似；
（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）OA＝4，OB＝3；（2）或，相似；
（3）（-3，0），（3，8），（，），（，）

試題分析：（1）求出一元二次方程的兩個(gè)根，再結(jié)合OA＞OB即可得到結(jié)果；
（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．
（1）解一元二次方程得，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3；
（2）設(shè)E（x，0），由題意得

解得
∴E（，0）或（，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4）
設(shè)經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式為
若圖象過點(diǎn)（，0），（6，4）
則，解得
此時(shí)函數(shù)解析式為
若圖象過點(diǎn)（，0），（6，4）
則，解得
此時(shí)函數(shù)解析式為
在△AOE與△DAO中，
，

又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO；
（3）∵OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，
所以點(diǎn)F與B重合，
即F（-3，0）；
②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點(diǎn)F（3，8）；
③AC是對(duì)角線時(shí)，作AC垂直平分線L，AC解析式為，
則直線L過（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
∴L解析式為，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，
∴F（，）；
④AF是對(duì)角線時(shí)，過C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出，勾股定理得
做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，，
過F做y軸垂線，垂足為G，
∴F（，）；
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：（-3，0），（3，8），（，），（，）.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是要注意（3）中求點(diǎn)F的坐標(biāo)要根據(jù)AC與AF是鄰邊與對(duì)角線的情況進(jìn)行討論，不要漏解．