Question

【題目】如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，CD與BE交于點Q，連接PQ

（1）求證：AD＝BE；

（2）∠AOB的度數(shù)為　 　；PQ與AE的位置關(guān)系是　 　；

（3）如圖2，△ABC固定，將△CDE繞點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的結(jié)論是否總成立？∠AOB的度數(shù)是否改變？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°，PQ∥AE；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的結(jié)論總成立，∠AOB的度數(shù)不會改變，見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，求出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；

（2）由三角形的外角性質(zhì)，可得∠AOB＝∠BEA+∠DAC，∠ACB＝∠EBC+∠BEA，則∠AOB＝∠ACB＝60°，證明∠QPC＝∠BCA，可得PQ∥AE；

（3）證明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，根據(jù)∠BOA＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，即可解答．

（1）證明：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）∵△ACD≌△BCE，

∴∠DAC＝∠EBC，

由三角形的外角性質(zhì)，∠AOB＝∠BEA+∠DAC，

∠ACB＝∠EBC+∠BEA，

∴∠AOB＝∠ACB＝60°；

∵∠DCP＝60°＝∠ECQ，

∴在△CDP和△CEQ中，

∠ADC＝∠BEC，CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP＝CQ，

∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，△PCQ是等邊三角形，

∴∠QPC＝∠BCA，

∴PQ∥AE；

故答案為：60°，PQ∥AE；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的結(jié)論總成立，∠AOB的度數(shù)不會改變，理由如下：

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，

∴∠BOA＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°．