【題目】如圖 1,在 RtABC 中,∠ACB90°,ACBCD BC 上的一點,過點 D DEAB,垂足為點 E,F AD 的中點,連接 CF、EF

1)猜想CFEF的關系,并說明理由;

2)如圖2,連接BF,若∠AEF30°,求∠BFE 的度數(shù).

【答案】(1)CF=EF,CFEF,理由見解析;(2)∠BFE=15°.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質可得∠CAB=∠EBD=45°,在Rt△ACD中,由直角三角形斜邊中線的性質可得CF=AF,從而有∠FAC=∠FCA,同理在Rt△AED中,可得EF=AF∠FAE=∠FEA,繼而可得CF=EF,再由三角形外角的性質以及角的和差可得∠CFD+∠EFD=90°,即可得CFEF;

(2)∠EBD=45°,∠BED=90°可得BE=ED,再由∠AEF=30°,可得∠BEF=150°,∠FED=60°,繼而可得△FED是等邊三角形,從而有EF=ED,繼而可得BE=EF,再利用等邊對等角即可求得答案.

(1)CF=EF,CFEF,理由如下:

Rt△ABC 中,ACB90°,ACBC

∠CAB=∠B=45°,

DEAB

∠BED=∠AED=90°,

Rt△ACD中,∠ACD=90°,FAD中點,

∴CF=AF,

∠FAC=∠FCA

Rt△AED中,∠AED=90°,FAD中點,

∴EF=AF

∠FAE=∠FEA,

CF=EF,

∠CFD=∠FAC+∠FCA∠EFD=∠FAE+∠FEA,∠FAC+∠FAE=∠CAB=45°,

∴∠CFD+∠EFD=90°,

即∠EFC=90°

CFEF;

(2)∠EBD=45°,∠BED=90°,

∴∠EDB=90°-∠EBD=45°=∠EBD,

∴BE=ED,

∠AEF=30°,

∴∠BEF=180°-∠AEF=150°,∠FED=∠AED-∠AEF=90°-30°=60°,∠FAE=∠AEF=30°,

∠ADE=60°,

∠FDE=FED=60°

△FED是等邊三角形,

EF=ED,

BE=EF,

∠BFE=(180°-150°)÷2=15°.

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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