【題目】ABC中,∠ACB=90°,CB=6,AC=8,點(diǎn)DAC上的一點(diǎn),點(diǎn)EBD上一點(diǎn).

1)如圖(1),若點(diǎn)DAB的垂直平分線上,求CD的長(zhǎng).

2)如圖(2),連接AE,若AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,求點(diǎn)EAC的距離.

3)若點(diǎn)E到三角形兩邊的距離為1.5,求CD的長(zhǎng).(直接寫出答案)

【答案】122332

【解析】

(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=AD,AE=BE=5,設(shè)CD長(zhǎng)為x,在中,由勾股定理列出方程即可解出CD的長(zhǎng);

(2)過(guò)點(diǎn)EEFAC于點(diǎn)F,EMAB于點(diǎn)M,ENBC于點(diǎn)N,由角平分線的性質(zhì)可得EF=EM=EN,AE、BE、CE分割成三個(gè)三角形,利用面積關(guān)系= 可求出EF的長(zhǎng)即為所求;

(3)根據(jù)題意可分三種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)EABBC的距離為1.5時(shí),過(guò)點(diǎn)DDFAB于點(diǎn)F,設(shè)CDx,中利用勾股定理可列出方程,求出x;②當(dāng)點(diǎn)ECBCA的距離為1.5時(shí),過(guò)點(diǎn)EEMAC于點(diǎn)M,ENBC于點(diǎn)N,易知四邊形CMEN為正方形,可得CM=1.5,由EMBC,可得,進(jìn)而得到,代入數(shù)據(jù)即可求出CD;③當(dāng)點(diǎn)EABAC的距離為1.5時(shí),過(guò)點(diǎn)EEMAB于點(diǎn)M,ENAC于點(diǎn)N,EFBC于點(diǎn)F,易知四邊形CNEF為矩形,根據(jù)面積關(guān)系= 可求EF的長(zhǎng)度即為CN的長(zhǎng)度,由ENBC,可得進(jìn)而可得,代入數(shù)據(jù)即可求出CD的長(zhǎng)度.

(1)如圖所示,設(shè)AB的垂直平分線為DE,垂足為E,

∵∠ACB=90°,CB=6,AC=8,

AB==10,

DE垂直平分AB,

BD=AD,AE=BE=AB=5,

設(shè)CD=x,則AD=BD=8-x,在中,由勾股定理可得:

,

解得:,

∴點(diǎn)DAB的垂直平分線上時(shí),CD=

(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)EEFAC于點(diǎn)F,EMAB于點(diǎn)M,ENBC于點(diǎn)N,連接CE

AE平分∠BAC,EFAC,EMAB,

EF=EM,

BE平分∠ABC,EMAB,ENBC,

EM=EN,

EF=EM=EN,

設(shè)EF=EM=EN=x,則:

=

即:×AC×BC= ×AC×EF+ ×AB×EM+ ×BC×EN,

6×8=8x+10x+6x,

解得:x=2,

∴點(diǎn)EAC的距離為2;

(3)根據(jù)題意可分三種情況:

①如圖所示,當(dāng)點(diǎn)EABBC的距離為1.5時(shí),此時(shí)點(diǎn)E在∠CBA的角平分線上,即BD平分∠CBA,過(guò)點(diǎn)DDFAB于點(diǎn)F

BD平分∠CBA,DFAB,DCBC,

CD=DF,

又∵∠C=DFB=90°,BD=BD,

(HL),

BF=BC=6,

AF=4,

設(shè)CD=x,DF=x,AD=8-x,中,由勾股定理可得:

,

解得:x=3,

∴當(dāng)點(diǎn)EABBC的距離為1.5時(shí),CD=3;

②如圖所示,當(dāng)點(diǎn)ECBCA的距離為1.5時(shí),此時(shí)點(diǎn)E在∠BCA的角平分線上,即CE平分∠BCA,過(guò)點(diǎn)EEMAC于點(diǎn)M,ENBC于點(diǎn)N,此時(shí)EM=EN=1.5,EMBC,

∵∠NCM=90°, EMAC,ENBC,

∴四邊形CMEN為矩形,

EM=EN

∴矩形CMEN為正方形,

CM=1.5

設(shè)CD=x,DM=x-1.5,

EMBC,

,

: ,

解得:x=2,

∴當(dāng)點(diǎn)ECBCA的距離為1.5時(shí),CD=2;

③如圖所示,當(dāng)點(diǎn)EABAC的距離為1.5時(shí),此時(shí)點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上,即AE平分∠BAC,過(guò)點(diǎn)EEMAB于點(diǎn)MENAC于點(diǎn)N,EFBC于點(diǎn)F,此時(shí)EM=EN=1.5,四邊形CNEF為矩形,

= ,

×AC×BC= ×AC×EN+ ×AB×EM+ ×BC×EF,

6×8=8×1.5+10×1.5+6×EF,

解得:EF=,

∵四邊形CNEF為矩形,

CN= EF=,

設(shè)CD=x,DN=x-

ENBC,

,

: ,

解得:x=,

∴當(dāng)點(diǎn)EABAC的距離為1.5時(shí),CD= .

綜上所述,若點(diǎn)E到三角形兩邊的距離為1.5,CD的長(zhǎng)為32.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

(1)過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線解析式是   ,∠BAO=   ;

(2)當(dāng)t﹦4時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為   ;當(dāng)t﹦   ,點(diǎn)P與點(diǎn)E重合;

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A.2017B.2018C.2019D.2020

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