【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,m),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,﹣n),拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn),連接OA、OB、AB,線(xiàn)段AB交y軸于點(diǎn)C.已知實(shí)數(shù)m、n(m<n)分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若點(diǎn)P為線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O、B重合),直線(xiàn)PC與拋物線(xiàn)交于D、E兩點(diǎn)(點(diǎn)D在y軸右側(cè)),連接OD、BD.
①當(dāng)△OPC為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②求△BOD 面積的最大值,并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】解:(1)解方程x2﹣2x﹣3=0,得 x1=3,x2=﹣1。
∵m<n,∴m=﹣1,n=3!郃(﹣1,﹣1),B(3,﹣3)。
∵拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx。
∴,解得:。
∴拋物線(xiàn)的解析式為。
(2)①設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b。
∴,解得:。
∴直線(xiàn)AB的解析式為。
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)。
∵直線(xiàn)OB過(guò)點(diǎn)O(0,0),B(3,﹣3),∴直線(xiàn)OB的解析式為y=﹣x。
∵△OPC為等腰三角形,∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。
設(shè)P(x,﹣x)。
(i)當(dāng)OC=OP時(shí),,解得(舍去)。
∴P1()。
(ii)當(dāng)OP=PC時(shí),點(diǎn)P在線(xiàn)段OC的中垂線(xiàn)上,∴P2()。
(iii)當(dāng)OC=PC時(shí),由,解得(舍去)。
∴P3()。
綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為P1()或P2()或P3()。
②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸,垂足為G,交OB于Q,過(guò)B作BH⊥x軸,垂足為H.
設(shè)Q(x,﹣x),D(x,).
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH
=DQ(OG+GH)
=
=。
∵0<x<3,∴當(dāng)時(shí),S取得最大值為,此時(shí)D()。
【解析】(1)首先解方程得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),從而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可。
(2)①首先求出AB的直線(xiàn)解析式,以及BO解析式,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時(shí),當(dāng)OP=PC時(shí),點(diǎn)P在線(xiàn)段OC的中垂線(xiàn)上,當(dāng)OC=PC時(shí)分別求出x的值即可。
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù),從而得出最值即可。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過(guò)點(diǎn)A(﹣3,0),對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1.給出四個(gè)結(jié)論:①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為評(píng)估學(xué)生整理錯(cuò)題集的質(zhì)量情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,把學(xué)生整理錯(cuò)題集的質(zhì)量分為“非常好”、“較好”、“一般”、“不好”四個(gè)等級(jí),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= ,“非常好”部分所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)如果4名學(xué)生整理錯(cuò)題集的質(zhì)量情況是:3人“較好”,1人“一般”,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2人,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出兩人都是“較好”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=x-3與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點(diǎn)A(4,n),與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)填空:n的值為 ,k的值為 ;
(2)以AB為邊作菱形ABCD,使點(diǎn)C在x軸正半軸上,點(diǎn)D在第一象限,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)觀察反比函數(shù)y=的圖象,當(dāng)y≥-2時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了做好“全國(guó)文明城市”驗(yàn)收工作,計(jì)劃對(duì)市區(qū)米長(zhǎng)的道路進(jìn)行改造,現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工.
(1)已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同.若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米,求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長(zhǎng)度各是多少米.
(2)若甲工程隊(duì)每天可以改造米道路,乙工程隊(duì)每天可以改造米道路,(其中).現(xiàn)在有兩種施工改造方案:
方案一:前米的道路由甲工程隊(duì)改造,后米的道路由乙工程隊(duì)改造;
方案二:完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造,后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造.
根據(jù)上述描述,請(qǐng)你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少?并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,.
(1)如圖1,點(diǎn)在邊上,,,求的面積.
(2)如圖2,點(diǎn)在邊上,過(guò)點(diǎn)作,,連結(jié)交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連結(jié).求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一天,小明和爸爸去登山,已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?/span>300米,小明先走了一段路程,爸爸才開(kāi)始出發(fā),圖中兩條線(xiàn)段分別表示小明和爸爸離開(kāi)山腳的路程(米)與登山所用時(shí)間(分)的關(guān)系(從爸爸開(kāi)始登山時(shí)計(jì)時(shí)),根據(jù)圖象,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.爸爸登山時(shí),小明已經(jīng)走了50米
B.爸爸走了5分鐘,小明仍在爸爸的前面
C.小明比爸爸晚到5分鐘
D.爸爸前10分鐘登山的速度比小明慢,10分鐘之后登山的速度比小明快
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng),連結(jié)PD,以PD為邊,在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________.
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