【題目】如圖:菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC= ,BD=,動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),PFAB于點(diǎn)F,PGBC于點(diǎn)G,四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1,未被蓋住部分的面積為S2,,若S1=S2,則的值是( 。

A. B. C. D. 不存在

【答案】A

【解析】

根據(jù)對(duì)稱性確定E、FG、H都在菱形的邊上,由于點(diǎn)PBO上與點(diǎn)POD上求S1S2的方法不同,因此需分情況討論,由S1=S2S1+S2=8可以求出S1=S2=4.然后在兩種情況下分別建立關(guān)于x的方程,解方程,結(jié)合不同情況下x的范圍確定x的值.

①當(dāng)點(diǎn)PBO上,0x≤2時(shí),如圖1所示.

∵四邊形ABCD是菱形,AC=4,BD=4,

ACBD,BO=BD=2AO=AC=2,

S菱形ABCD=BDAC=8

tanABO==

∴∠ABO=60°

RtBFP中,

∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,

sinFBP=

FP=x

BF=

∵四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱,

四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對(duì)稱,

SBFP=SBGP=SDEQ=SDHQ

S1=4SBFP

=4××x

=x2

S2=8-x2

②當(dāng)點(diǎn)POD上,2x≤4時(shí),如圖2所示.

AB=4,BF=,

AF=AB-BF=4

RtAFM中,

∵∠AFM=90°,∠FAM=30°AF=4-

tanFAM=

FM=4-).

SAFM=AFFM

=4-4-

=4-2

∵四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱,

四邊形QEDH與四邊形FPBG關(guān)于AC對(duì)稱,

SAFM=SAEM=SCHN=SCGN

S2=4SAFM

=4×4-2

=x-82

S1=8-S2=8-x-82

綜上所述:

當(dāng)0x≤2時(shí),S1=x2,S2=8-x2

當(dāng)2x≤4時(shí),S1=8-x-82,S2=x-82

當(dāng)點(diǎn)PBO上時(shí),0x≤2

S1=S2,S1+S2=8,

S1=4

S1=x2=4

解得:x1=2x2=-2

22,-20,

∴當(dāng)點(diǎn)PBO上時(shí),S1=S2的情況不存在.

當(dāng)點(diǎn)POD上時(shí),2x≤4

S1=S2,S1+S2=8

S2=4

S2=x-82=4

解得:x1=8+2x2=8-2

8+24,28-24

x=8-2

綜上所述:若S1=S2,則x的值為8-2

故選A.

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