Question

閱讀下面一段文字：“一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情況有三種：
①當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．”請(qǐng)利用以上結(jié)論，解答下面的問題：
已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況；
（2）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另兩條邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式△=b²-4ac來(lái)判斷根的情況；
（2）兩條邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，則長(zhǎng)是4的邊可能是三角形的腰長(zhǎng)，此時(shí)4是方程的一根，把x=4代入原方程求出k的值，當(dāng)邊長(zhǎng)是4的邊是底邊時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b²-4ac=0，即可求得k的值．

解答：解：（1）b²-4ac
=（2k+1）²-4×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²≥0，
∴方程必有兩個(gè)的實(shí)數(shù)根；

（2）①當(dāng)4為腰長(zhǎng)時(shí)，
則必有x=4，
代入原方程得k=2.5，
∴原方程為x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴等腰三角形周長(zhǎng)為10；
②當(dāng)4為底邊時(shí)，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
即b²-4ac=（2k-3）²=0．
∴k=1.5，此時(shí)原方程為x²-4x+4=0．
解得x₁=x₂=2．
但2，2，4不能組成三角形，故舍去．
∴等腰三角形周長(zhǎng)為10．

點(diǎn)評(píng)：判斷一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情況有三種：
①當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
另外要學(xué)會(huì)根據(jù)根的情況解一元二次方程．