Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為2，作正方形AEFG（A，E，F，G四個頂點按逆時針方向排列），連接BE、GD，

（1）如圖①，當點E在正方形ABCD外時，線段BE與線段DG有何關系？直接寫出結論；

（2）如圖②，當點E在線段BD的延長線上，射線BA與線段DG交于點M，且DG＝2DM時，求邊AG的長；

（3）如圖③，當點E在正方形ABCD的邊CD所在的直線上，直線AB與直線DG交于點M，且DG＝4DM時，直接寫出邊AG的長．

Answer 1

【答案】（1）結論：BE＝DG，BE⊥DG．理由見解析；（2）AG＝2；（3）滿足條件的AG的長為2或2．

【解析】

（1）結論：BE＝DG，BE⊥DG．只要證明△BAE≌△DAG（SAS），即可解決問題；

（2）如圖②中，連接EG，作GH⊥AD交DA的延長線于H．由A，D，E，G四點共圓，推出∠ADO＝∠AEG＝45°，解直角三角形即可解決問題；

（3）分兩種情形分別畫出圖形即可解決問題；

（1）結論：BE=DG，BE⊥DG．

理由：如圖①中，設BE交DG于點K，AE交DG于點O．

∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG，∴∠AEB=∠AGD，

∵∠AOG=∠EOK，

∴∠OAG=∠OKE=90°，

∴BE⊥DG．

（2）如圖②中，連接EG，作GH⊥AD交DA的延長線于H．

∵∠OAG＝∠ODE＝90°，

∴A，D，E，G四點共圓，

∴∠ADO＝∠AEG＝45°，

∵∠DAM＝90°，

∴∠ADM＝∠AMD＝45°，

∴

∵DG=2DM，

∴

∵∠H＝90°，

∴∠HDG＝∠HGD＝45°，

∴GH＝DH＝4，

∴AH＝2，

在Rt△AHG中，

（3）①如圖③中，當點E在CD的延長線上時．作GH⊥DA交DA的延長線于H．

易證△AHG≌△EDA，可得GH＝AB＝2，

∵DG＝4DM．AM∥GH，

∴

∴DH＝8，

∴AH＝DH﹣AD＝6，

在Rt△AHG中，

②如圖3﹣1中，當點E在DC的延長線上時，易證：△AKE≌△GHA，可得AH＝EK＝BC＝2．

∵AD∥GH，

∴

∵AD＝2，

∴HG＝10，

在Rt△AGH中，

綜上所述，滿足條件的AG的長為或．