【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn),若AB為直角邊構(gòu)造直角三角形△ABM,請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°,射線AC交x軸的負(fù)半軸與點(diǎn)C,射線AD交y軸的負(fù)半軸與點(diǎn)D,當(dāng)∠CAD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),OC﹣OD的值是否發(fā)生變化?若不變,直接寫出它的值;若變化,直接寫出它的變化范圍(不要解題過(guò)程).
【答案】
(1)
設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b(k≠0).
∵點(diǎn)A(﹣4,4),點(diǎn)B(0,2)在直線AB上,
∴ ,解得 ,
∴直線AB的解析式為:y=﹣ x+2
(2)
∵△ABM是以AB為直角邊的直角三角形,
∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°,
①當(dāng)∠BAM=90°時(shí),如圖1,
過(guò)A作AB的垂線,交x軸于點(diǎn)M1,交y軸于點(diǎn)M2,
則可知△AEM1∽△BEA,
∴ = ,
由(1)可知OE=OB=AE=4,
∴ = ,解得M1E=2,
∴OM1=2+4=6,
∴M1(﹣6,0),
∵AE∥y軸,
∴ = ,即 = ,解得OM2=12,
∴M2(0,12);
②當(dāng)∠ABM=90°時(shí),如圖2,
過(guò)B作AB的垂線,交y軸于點(diǎn)M3,
設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E,則由(1)可知E(0,2),
∴OE=2,OB=4,
由題意可知△BOE∽△M3OB,
∴ = ,即 = ,解得OM3=8,
∴M3(0,﹣8),
綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣6,0)或(0,12)或(0,﹣8)
(3)
不變.
理由如下:
過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為G、H,如圖3.
則∠AGC=∠AHD=90°,
又∵∠HOC=90°,
∴∠GAH=90°,
∴∠DAG+∠DAH=90°,
∵∠CAD=90°,
∴∠DAG+∠CAG=90°,
∴∠CAG=∠DAH.
∵A(﹣4,4),
∴OG=AH=AG=OH=4.
在△AGC和△AHD中
∴△AGC≌△AHD(ASA),
∴GC=HD.
∴OC﹣OD=(OG+GC)﹣(HD﹣OH)=OG+OH=8.
故OC﹣OD的值不發(fā)生變化,值為8
【解析】(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式;(2)分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AB的垂線,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn),再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得OM的長(zhǎng)即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)過(guò)A分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為E、F,可證明△AEC≌△AFD,可得到EC=FD,從而可把OC﹣OD轉(zhuǎn)化為FD﹣OD,再利用線段的和差可求得OC﹣OD=OE+OF=8;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.k≥1
B.k>1
C.k≥﹣1
D.k>﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)類比聯(lián)想,引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的,下面是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連結(jié)EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)思路梳理
把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,由∠ADG=∠B=90°,得∠FDG=180°,即點(diǎn)F、D、G共線,易證△AFG≌ , 故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系
為 .
(2)類比引申
如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上,∠EAF=45°,連結(jié)EF,試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為 , 并給出證明.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠BAD+∠EAC=45°,若BD=3,EC=6,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列調(diào)查中,調(diào)查方式選擇正確的是( )
A. 為了了解10000個(gè)燈泡的使用壽命,選擇全面調(diào)查
B. 為了了解某公園全年的游客流量,選擇抽樣調(diào)查
C. 為了了解生產(chǎn)的50枚炮彈的殺傷半徑,選擇全面調(diào)查
D. 為了了解一批袋裝食品是否有防腐劑,選擇全面調(diào)查
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有理數(shù)﹣22 , (﹣2)3 , ﹣|﹣2|, 按從小到大的順序排列為( )
A.(﹣2)3<﹣22<﹣|﹣2|<
B. <﹣|﹣2|<﹣22<(﹣2)3
C.﹣|﹣2|< <﹣22<(﹣2)3
D.﹣22<(﹣2)3< <﹣|﹣2|
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A1,A2,A3…都在x軸上,點(diǎn)B1,B2,B3…都在直線上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,則點(diǎn)B2015的坐標(biāo)是( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O是四邊形EFGH對(duì)角線FH的中點(diǎn),四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖(2)若四邊形EFGH是矩形,當(dāng)AC與FH重合時(shí),已知,且菱形ABCD的面積是20,求矩形EFGH的長(zhǎng)與寬.
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