【題目】(11分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A,B分別向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,BD,CD.
(1)求點(diǎn)C,D的坐標(biāo);
(2)若在y軸上存在點(diǎn) M,連接MA,MB,使S△MAB=S平行四邊形ABDC,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng),連接PC,PO.
①若P在線段BD之間時(shí)(不與B,D重合),求S△CDP+S△BOP的取值范圍;
②若P在直線BD上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫出∠CPO、∠DCP、∠BOP的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)C(0,2),D(4,2);(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)或(0,﹣4);(3)①3<S△CDP+S△BOP<4;②∠DCP+∠BOP=∠CPO或∠DCP﹣∠BOP=∠CPO或∠DCP﹣∠BOP=∠CPO.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律即可得點(diǎn)C,D的坐標(biāo);(2)由S平行四邊形ABOC=ABCO即可計(jì)算出S平行四邊形ABOC=8,設(shè)M坐標(biāo)為(0,m),根據(jù)三角形面積公式得×4×|m|=8,解得m=±4,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)或(0,﹣4);(3)(3)①根據(jù)題意易得S梯形OCDB=7,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),S△BOC的最小值=3,則可判斷S△CDP+S△BOP<4,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),S△BOC的最大值=4,于是可判斷S△CDP+S△BOP>3,所以3<S△CDP+S△BOP<4;
②分三種情況,第一種情況:當(dāng)點(diǎn)P在BD上,如圖1,作PE∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB,則∠DCP=∠EPC,∠BOP=∠EPO,易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO;第二種情況:當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,同樣有∠DCP=∠EPC,∠BOP=∠EPO,由于∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP,于是∠BOP﹣∠DCP=∠CPO;第三種情況,當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí),同第二種情況可得,當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí),∠DCP﹣∠BOP=∠CPO.
試題解析:解:(1)由平移可知:C(0,2),D(4,2);
(2)∵AB=4,CO=2,
∴S平行四邊形ABOC=ABCO=4×2=8,
設(shè)M坐標(biāo)為(0,m),
∴×4×|m|=8,解得m=±4
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)或(0,﹣4);
(3)①S梯形OCDB=×(3+4)×2=7,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),S△BOC最小,S△BOC的最小值=×3×2=3,S△CDP+S△BOP<4,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),S△BOC最大,S△BOC的最大值=×4×2=4,S△CDP+S△BOP>3,
所以3<S△CDP+S△BOP<4;
②當(dāng)點(diǎn)P在BD上,如圖1,作PE∥CD,
∵CD∥AB,
∴CD∥PE∥AB,
∴∠DCP=∠EPC,∠BOP=∠EPO,
∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO;
當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,作PE∥CD,
∵CD∥AB,
∴CD∥PE∥AB,
∴∠DCP=∠EPC,∠BOP=∠EPO,
∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP,
∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO;
同理可得當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí),∠DCP﹣∠BOP=∠CPO.
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(1)求證:△BPO≌△PDE.
(2)若PB平分∠ABO,其余條件不變.求證:AP=CD.
(先將圖形補(bǔ)充完整,然后再證明)
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