Question

【題目】如圖，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC 的垂直平分線交 BC 于點 D，交AC 于點 E．

(1)判斷 BE 與△DCE 的外接圓⊙O 的位置關系，并說明理由；

(2)若 BE＝，BD＝1，求△DCE 的外接圓⊙O 的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DCE的外接圓的直徑是2．

【解析】

（1）連接OE，由DE是AC的垂直平分線，得到BE=CE，根據等腰三角形的性質得到∠EBC=∠C=30°，由三角形的內角和得到∠BEC=120°，由OE=OC，得到∠OEC=∠C=30°，求得∠BEO=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）根據切割線定理得到BE2=BDBC，代入數據即可得到結論．

（1）連接OE，

∵DE是AC的垂直平分線，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠C=30°，

∴∠BEC=120°，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠C=30°，

∴∠BEO=90°，

∴BE是⊙O的切線；

（2）∵BE是⊙O的切線，

∴BE2=BDBC，

即（）2=1BC，

∴BC=3，

∴CD=2，

∴△DCE的外接圓的直徑是2．