Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上一點，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，連接AE交CD于點P，交⊙O于點F，連接DF，∠CAE=∠ADF．

（1）判斷AB與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）AB是⊙O切線；（2）．

【解析】

試題分析：（1）結論：AB是⊙O切線，連接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要證明∠ADF=∠DCF即可解決問題．

（2）只要證明△PCF∽△PAC，得，設PF=a．則PC=2a，列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）AB是⊙O切線．

理由：連接DE、CF．

∵CD是直徑，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切線．

（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴，∴=PFPA，設PF=a．則PC=2a，∴=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．