Question

【題目】在四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，連接AE，AF.

（1）如圖1，若四邊形ABCD的面積為5，則四邊形AECF的面積為____________；

（2）如圖2，延長AE至G，使EG=AE，延長AF至H，使FH=AF，連接BG、GH、HD、DB.

求證：四邊形BGHD是平行四邊形；

（3）如圖3，對角線 AC、BD相交于點M， AE與BD交于點P， AF與BD交于點N. 直接寫出BP、PM、MN、ND的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）.

【解析】

（1）連接AC，根據(jù)三角形中線把三角形分成兩個面積相等的三角形進行解答即可得；

（2）連接EF，根據(jù)三角形中位線定理可得到BD與GH平行且相等，由此即可得證；

（3）如圖，延長PE至點Q，使EQ=EP，連接CQ，延長NF至點O，使OF=NG，連接CO，通過證明△BPE≌△CQE可得BP=CQ，BP//CQ，同理：CO=ND，CO//ND，從而可得Q、C、O三點共線，繼而通過證明△APM∽△AQC，可得PM：CQ=AM：AC，同理：MN：CO=AM：AC，即可得答案.

（1）如圖，連接AC，則有S△ABC+S△ACD= S四邊形ABCD=5，

∵E、F分別為BC、CD中點，

∴S△AEC=S△ABC，S△AFC=S△ADC，

∴S四邊形AECF=S△AEC+S△AFC=S△ABC+S△ADC= S四邊形ABCD=，

故答案為：；

（2）如圖，連接EF，

∵E、F分別是BC，CD的中點，

∴EF∥BD，EF=BD.，

∵EG=AE，F(xiàn)H=AF，

∴EF∥GH，EF=GH.，

∴BD∥GH，BD=GH.，

∴四邊形BGHD是平行四邊形；

（3）如圖，延長PE至點Q，使EQ=EP，連接CQ，

延長NF至點O，使OF=NG，連接CO，

在△BPE和△CQE中

，

∴△BPE≌△CQE（SAS），

∴BP=CQ，∠PBE=∠QCE，

∴BP//CQ，

同理：CO=ND，CO//ND，

∴Q、C、O三點共線，

∴BD//OQ，

∴△APM∽△AQC，

∴PM：CQ=AM：AC，

同理：MN：CO=AM：AC，

∴.