Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸、y軸分別交于A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn).

（1）試求拋物線的解析式；

（2）P是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，P到BC的距離為h，求h與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出h的最大值；

（3）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x＋3.(2) t＝時(shí)，最大值為.(3) 存在．N1(0，－3)，N2(－，3)，N3(，3)，N4(－5，3)．

【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，PH⊥BC于點(diǎn)H，連結(jié)PB、PC，可先求得直線BC的解析式，則可用t分別表示出E的坐標(biāo)，從而可表示出PE的長，再可用t表示出△PBC的面積，再利用等積法可用t表示出h，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得h的最大值；
（3）分AM、CM和AC為對(duì)角線三種情況，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，PH⊥BC于點(diǎn)H，連結(jié)PB、PC．
∵B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，BC＝，
設(shè)直線BC解析式為y=kx+n，則，解得

∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，且在拋物線y=-x2+2x+3上，
∴P（t，-t2+2t+3），
又∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，
∴D（t，0），E（t，-t+3），
∴PE=（-t2+2t+3）-（-t+3）=-t2+3t，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PEBD+PEOD＝PE(BD+OD)＝PEOB= (t2+3t)×3＝t2+t，
又∵S△PBC＝BCPH＝×3h＝h，
∴h＝t2+t，
∴h與t的函數(shù)關(guān)系式為：h＝t2+t（0＜t＜3），
∵h＝t2+t＝ (t)2+，
∴當(dāng)t＝時(shí)，h有最大值為；
（3）存在．
若AM為菱形對(duì)角線，則AM與CN互相垂直平分，
∴N（0，-3）；
若CM為菱形對(duì)角線，則CN＝AM＝AC＝＝，
∴N(，3)或N(，3)；
若AC為菱形對(duì)角線，則CN=AM=CM，
設(shè)M（m，0），由CM2=AM2，得m2+32=（m+1）2，解得m=4，
∴CN=AM=CM=5，
∴N（-5，3）．
綜上可知存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，符合條件的點(diǎn)N有4個(gè)：N1（0，-3），N2(，3)，N3(，3)，N4（-5，3）．