Question

如圖所示，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，一場臺風過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得樹干傾斜角∠BAC=38°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）求這棵大樹折斷前的高度．（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：

2

=1.4，

3

=1.7，

6

=2.4）．

Answer 1

分析：本題可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形來解決問題，
（1）如果延長BA交EF于點G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC的度數(shù)以及確定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度數(shù)已知，那么∠EAG的度數(shù)就能求出來了，∠CAE便可求出．
（2）求樹折斷前的高度，就是求AC和CD的長，如果過點A作AH⊥CD，垂足為H．有∠CDA=60°，通過構(gòu)筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．

解答：解：（1）延長BA交EF于點G．
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．

（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=

DH

AD

，∴DH=2．
sin∠ADC=

AH

AD

，∴AH=2

3

．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°-75°-60°=45°，CH=AH=2

3

，
∴AC=2

6

，CH=AH=2

3

．
∴AB=AC+CD=2

6

+2

3

+2≈10（米）．
答：這棵大樹折斷前高約10米．

點評：本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．