Question

已知如圖：△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B、D．設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，則FC（AC+EC）=

8

．

Answer 1

分析：條件得知△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點，可設頂點式，根據(jù)條件求出拋物線的解析式為y=x²-2x+1，設Q（x，x²-2x+1），過Q點分別作x軸，y軸的垂線，運用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．

解答：解：∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，則點D的坐標是（0，m-3）．
又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，
所以可設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
得：

a(3-1)2=m a(0-1)2=m-3

，
解得：

a=1 m=4

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；
過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，
設點Q的坐標是（x，x²-2x+1），
則QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
∴

(x-1)2

EC

=

x-1

2

，
∴EC=2（x-1）．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
∴

3-x

FC

=

4-(x-1)2

4

，
∴FC=

4

x+1

，
∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

x+1

[4+2（x-1）]=

4

x+1

（2x+2）=

4

x+1

×2×（x+1）=8．
故答案為：8．

點評：本題考查了點的坐標，拋物線解析式的求法，綜合運用相似三角形的比求線段的長度．