Question

已知，如圖：在平面直角坐標系中，點D是直線y=-x上一點，過O、D兩點的圓⊙O₁分別交X軸、Y軸于點A和B，
（1）當A（-12，0），B（0，-5）時，求O₁的坐標；
（2）在（1）的條件下，過點A作⊙O₁的切線與BD的延長線相交于點C，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）連AB，由∠AOB=90°，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑得到AB為⊙O₁的直徑，即O₁在AB上，易通過A（-12，0），B（0，-5）得到O₁的坐標為（-6，-

5

2

）；
（2）過C、D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、F、G、E，連AD，設點D坐標為（-a，a），則DE=a，EB=a+5，GA=-a+12，根據(jù)勾股定理得到AB²=OA²+OB²=12²+5²=169，DB²=DE²+EB²=a²+（a+5）²，AD²=AG²+DG²=（-a+12）²+a²，由AB為⊙O₁的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，則AD²+DB²=AB²，即a²+（a+5）²+（-a+12）²+a²=169，可求出a=-

7

2

，確定點D坐標為（-

7

2

，

7

2

），
然后利用待定系數(shù)法確定直線BD的解析式為y=-

17

7

x-5，再設C點坐標為（m，n），則-

17

7

m-5=n，根據(jù)勾股定理得到AC²=CH²+AH²=n²+（m+12）²，BC²=CF²+BF²=m²+（n+5）²；根據(jù)切線的性質得到AB⊥AC，則AC²+AB²=BC²，即n²+（m+12）²+13²=m²+（n+5）²，整理得12m-5n+144=0，然后把n=-

17

7

m-5代入得12m-5×（-

17

7

m-5）+144=0，解得m=-7，則n=12，即可確定C點坐標．

解答：解：（1）連AB，如圖，
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙O₁的直徑，即O₁在AB上，
∵A（-12，0），B（0，-5），
∴O₁的坐標為（-6，-

5

2

）；

（2）過C、D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、F、G、E，連AD，如圖．
∵點D是直線y=-x上一點，
∴點D坐標可設為（-a，a），則DE=a，EB=a+5，GA=-a+12，
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=12²+5²=169，
在Rt△BDE中，DB²=DE²+EB²=a²+（a+5）²，
在Rt△ADG中，AD²=AG²+DG²=（-a+12）²+a²，
∵AB為⊙O₁的直徑，∴∠ADB=90°，
∴AD²+DB²=AB²，∴a²+（a+5）²+（-a+12）²+a²=169，
∴a=-

7

2

，∴點D坐標為（-

7

2

，

7

2

）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，
把D（-

7

2

，

7

2

），B（0，-5）代入，
得

- 7 2 k+b= 7 2 b=-5

，
解得

k=- 17 7 b=-5

，
∴直線BD的解析式為y=-

17

7

x-5，
設C點坐標為（m，n），則-

17

7

m-5=n，
∴AC²=CH²+AH²=n²+（m+12）²，
BC²=CF²+BF²=m²+（n+5）²，
∵AC與⊙O₁切于A點，∴AB⊥AC，
∴AC²+AB²=BC²，∴n²+（m+12）²+13²=m²+（n+5）²，
∴12m-5n+144=0，
把n=-

17

7

m-5代入，
得12m-5×（-

17

7

m-5）+144=0，
解得m=-7，
∴n=-

17

7

×（-7）-5=12．
∴C點坐標為（-7，12）．

點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；90°的圓周角所對的弦是直徑，直徑所對的圓周角為直角；點在直線上，則點的坐標滿足直線的解析式；利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握運用勾股定理進行幾何計算．