【題目】請閱讀下列材料:

問題:如圖1,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=,PC=1、求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.

小剛同學的思路是:將BPC繞點B逆時針旋轉60°,畫出旋轉后的圖形(如圖2),連接PP′,可得P′PC是等邊三角形,而PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以APB=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,進而求出等邊ABC的邊長為,問題得到解決.

請你參考小剛同學的思路,探究并解決下列問題:

如圖3,在正方形ABCD內有一點P,且PA=,BP=2,PC=.求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長.

【答案】BPC=135°,正方形邊長為

【解析】

首先根據(jù)旋轉的性質得出△BPC≌△BP′A,利用AP′=PC=,BP=BP′=2得出AP′P是直角三角形,再利用過點B作BEAP′交AP′的延長線于點E,利用勾股定理得出AB的長.

解:如圖,將△BPC繞點B逆時針旋轉90°,得△BP′A,

△BPC≌△BP′A.

∴AP′=PC=,BP=BP′=2.

連結P P′,

Rt△BP′P中,

∵BP=BP′=2,∠PBP′=90°,

∴P P′=2,∠BP′P=45°.

△AP′P中,AP′=,P P′=2,AP=

∵(2+(22=(2,即AP′2+PP′2=AP2

∴△AP′P是直角三角形,即∠A P′P=90°.

∴∠AP′B=135°.

∴∠BPC=∠AP′B=135°.

如圖,過點BBE⊥AP′AP′的延長線于點E.

∴∠EP′B=45°.

∴EP′=BE=

∴AE=2

Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=

∴∠BPC=135°,正方形邊長為

練習冊系列答案
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