Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DO﹣OC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；

（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AD﹣DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫(xiě)出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2＜t＜ ;（3）見(jiàn)解析; （4）t的值為 、 、 ．

【解析】

試題（1）根據(jù)條件證明△DPN∽△DQB然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于t的方程，解方程即可；（2）只需考慮求出兩個(gè)臨界位置①M(fèi)N經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，②點(diǎn)P與點(diǎn)O重合下t的值即可；（3）①分0＜t，＜t≤6，6＜t≤11三種情況討論，根據(jù)圖形面積公式或和差關(guān)系即可用t表示出面積s；②因?yàn)辄c(diǎn)P在折線AD-DO運(yùn)動(dòng)，所以可分點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)P在DO上，兩種情況討論．

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，

∵四邊形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN＝PQ＝t．

∴△DPN∽△DQB．∴．

∵PN＝PQ＝PA＝t，DP＝6﹣t，QB＝AB＝8，∴．∴t＝

∴當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)N落在BD上． （2分）

（2）當(dāng)點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍是4＜t＜11（5分）

（3）①當(dāng)0＜t時(shí)，如圖4．

S＝S正方形PQMN＝PQ2＝PA2＝t2．

當(dāng)＜t≤6時(shí)，如圖5，

∵tan∠ADB＝＝，∴＝．∴PG＝8﹣t．

∴GN＝PN﹣PG＝t﹣（8﹣t）＝﹣8．

∵tan∠NFG＝tan∠ADB＝，∴．

∴NF＝GN＝（﹣8）＝t﹣6．

∴S＝S正方形PQMN﹣S△GNF＝t2﹣×（﹣8）×（t﹣6）

＝﹣t2＋14t﹣24．

當(dāng)6＜t≤11時(shí)，如圖6，

∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．

∴∠PQM＝∠DAB＝90°．∴PQ∥AD．∴△BQP∽△BAD．

∴＝＝．∵BP＝16﹣t，BD＝10，BA＝8，AD＝6，

∴．∴BQ＝，PQ＝．

∴QM＝PQ＝．∴BM＝BQ﹣QM＝．

∵tan∠ABD＝，∴FM＝BM＝．

∴S＝S梯形PQMF＝（PQ＋FM）QM＝[＋]

＝（16﹣t）2＝t2－

綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S＝t2．

當(dāng)＜t≤6時(shí)，S＝﹣t2＋14t﹣24．

當(dāng)6＜t≤11時(shí)，S＝t2－

②當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)，t的值為、