Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，分別交⊙O于點(diǎn)M和點(diǎn)N，已知⊙O的半徑為l，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若AC=5，則當(dāng)t=時(shí)，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t=時(shí)，NQ與⊙O相切；
（2）當(dāng)AC的長(zhǎng)為多少時(shí)，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）解：當(dāng)AC的長(zhǎng)為3時(shí)，存在t=1，使四邊形AMQN為正方形．理由如下：

∵四邊形AMQN為正方形．

∴∠MAN=90°，

∴MN為⊙O的直徑，

而∠MQN=90°，

∴點(diǎn)Q在⊙O上，

∴AQ為直徑，

∴點(diǎn)P在圓心，

∴MN=AQ=2，AP=1，

∴t=AP=1，CQ=t=1，

∴AC=AQ+CQ=2+1=3

【解析】解：（1）AP=t，CQ=t，則PQ=5﹣2t， ∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴當(dāng)PA=PQ時(shí)，四邊形AMQN為菱形，即t=5﹣2t，解得t= ；
當(dāng)∠ONQ=90°時(shí)，NQ與⊙O相切，如圖，

OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽R(shí)t△OQN，
∴ ，即 = ，
整理得t2﹣5t+5=0，解得t1= ，t2= （1≤t≤2.5，故舍去），
即當(dāng)t= 時(shí)，NQ與⊙O相切；
所以答案是 ， ；
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的判定方法和正方形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形；先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角才能正確解答此題．