Question

【題目】如圖，M為等腰△ABD的底AB的中點(diǎn)，過D作DC∥AB，連結(jié)BC：AB＝8cm．DM＝4cm，DC＝1cm，動點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，在折線BC﹣CD上勻速運(yùn)動，速度均為1cm/s，當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動（s）時(shí)，△MPQ的面積為S（不能構(gòu)成△MPQ的動點(diǎn)除外）．

（1）點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動時(shí)，求t的取值范圍；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動時(shí)，求t為何值時(shí)，△MPQ是等腰三角形；

（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）0＜t≤5且t≠4（s）；（2）t＝秒；（3）當(dāng)0＜t＜4時(shí)S＝﹣t2+；當(dāng)4＜t≤5時(shí)，S＝t2﹣；當(dāng)5＜t≤6時(shí)，S＝2t﹣8；當(dāng)t＝6時(shí)，S取到最大值，最大值為4

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，可以證到四邊形DCEM是矩形，從而可以求出BC的長，然后考慮不能構(gòu)成△MPQ的情況，即可解決問題．

（2）易證QM≠M(fèi)P，QP≠M(fèi)P，若△MPQ是等腰三角形，只能是QM＝QP．由QF⊥MP可得：MF＝MP．再由MF＝DQ＝6﹣t，MP＝t﹣4可得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程即可解決問題．

（3）由于點(diǎn)P在點(diǎn)M的兩邊時(shí)PM的表達(dá)式不同，點(diǎn)Q在線段BC和DC上時(shí)點(diǎn)Q到PM的距離的表達(dá)式不同，因此需分三種情況討論，然后只需用t的代數(shù)式表示出PM及其邊上的高，就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)對以上三種情況進(jìn)行分析，即可解決問題

解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，如圖1，

∵DA＝DB，AM＝BM，

∴DM⊥AB．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝∠DMB＝90°．

∴CE∥DM．

∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，

∴四邊形DCEM是矩形．

∴CE＝DM＝4，ME＝DC＝1．

∵AM＝BM，AB＝8，

∴AM＝BM＝4．

∴BE＝BM﹣ME＝3．

∵∠CEB＝90°，CE＝4，BE＝3，

∴CB＝5．

∵當(dāng)t＝4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，不能構(gòu)成△MPQ，

∴t≠4．

∴當(dāng)0＜t≤5且t≠4（s）時(shí)，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動即5≤t≤6時(shí)，如圖2，

則有QM≥QF，QP≥QF，即QM≥4，QP≥4．

∵M(jìn)P＝t﹣4＜6﹣4，即MP＜2，

∴QM≠M(fèi)P，QP≠M(fèi)P．

若△MPQ是等腰三角形，則QM＝QP．

∵QM＝QP，QF⊥MP，

∴MF＝PF＝MP．

∵M(jìn)F＝DQ＝5+1﹣t＝6﹣t，MP＝t﹣4，

∴6﹣t＝（t﹣4）．

解得：t＝．

∴當(dāng)t＝秒時(shí)，△MPQ是等腰三角形．

（3）①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)Q在線段BC上，

過點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB＝∠CEB＝90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴．

∵CE＝4，BC＝5，BQ＝t，

∴＝．

∴QF＝t．

∵PM＝AM﹣AP＝4﹣t，

∴S＝PMQF

＝（4﹣t）t

＝﹣t2+t．

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，點(diǎn)P在線段BM上，點(diǎn)Q在線段BC上，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB＝∠CEB＝90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴．

∵CE＝4，BC＝5，BQ＝t，

∴＝．

∴QF＝

∵PM＝AP﹣AM＝t﹣4，

∴S＝PMQF

＝（t﹣4）

＝t2﹣．

③當(dāng)5＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在線段BM上，點(diǎn)Q在線段DC上，

此時(shí)QF＝DM＝4．

∵PM＝AP﹣AM＝t﹣4，

∴S＝PMQF

＝（t﹣4）×4

＝2t﹣8．

綜上所述：當(dāng)0＜t＜4時(shí)S＝﹣t2+；當(dāng)4＜t≤5時(shí)，S＝t2﹣；當(dāng)5＜t≤6時(shí)，S＝2t﹣8．

①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，S取到最大值，最大值為．

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，S＝t2﹣t，對稱軸為x＝2．

∵＞0，

∴當(dāng)x＞2時(shí)，S隨著t的增大而增大．

∴當(dāng)t＝5時(shí)，S取到最大值，最大值為×52﹣×5＝2．

③當(dāng)5＜t≤6時(shí)，S＝2t﹣8．

∵2＞0，

∴S隨著t的增大而增大．

∴當(dāng)t＝6時(shí)，S取到最大值，最大值為2×6﹣8＝4．

綜上所述：當(dāng)t＝6時(shí)，S取到最大值，最大值為4．