Question

【題目】拋物線與軸交于A(4，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C(0，3).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3）.

①過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時(shí)，△PDE的面積最大，并求出這個(gè)最大值；

②當(dāng)t =2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為： ；（2）①；②存在點(diǎn)F，使為直角三角形；F的坐標(biāo)為（5，12）或（5，2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；

（2）①依題意知：點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，t），易得直線BC的解析式為yBC=-x+3，易得

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（， ），從而可得=（），利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得面積的最大值；

②存在點(diǎn)F，使為直角三角形，分情況進(jìn)行討論即可得.

試題解析：（1）拋物線與軸交于A(4，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C(0，3)，則有

，解得： ，

所以拋物線的解析式為： ；

（2）①依題意知：點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，t），

又由點(diǎn)，C（0，3）易知：直線BC的解析式為yBC=-x+3，

∵過(guò)點(diǎn)E的直線與軸平行交直線BC于點(diǎn)D，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，

∴當(dāng)-x+3=t時(shí)， ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（， ），

∵，

∴，

∴，

∴S△PDE=（），

，∴的面積有最大值，

∴當(dāng)時(shí)，滿足，

∴的面積的最大值為；

②存在點(diǎn)F，使為直角三角形；

理由如下：

當(dāng)時(shí)，則有：P（4，0） ， ；

又易知拋物線的對(duì)稱軸為：直線，

∵點(diǎn)F在直線上，

∴當(dāng)為直角三角形時(shí)，直角頂點(diǎn)不可能在F處；

則應(yīng)分兩種情況：

設(shè)F的坐標(biāo)為（5，m）, ∵ ， ，

∴， ， ，

當(dāng)直角頂點(diǎn)在E處時(shí)， ，此時(shí)可求出，

當(dāng)直角頂點(diǎn)在P處時(shí)， ，此時(shí)可求出，

∴F的坐標(biāo)為（5，12）或（5，2）.