Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14，0）和C（0，﹣8），對稱軸為x=4．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，同時(shí)另一動點(diǎn)N以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PN被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)N的運(yùn)動速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結(jié)論下，直線x=1上是否存在點(diǎn)M使△MPN為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線過C（0，﹣8），

∴c=﹣8，即y=ax2+bx﹣8，

由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（14，0）及對稱軸為x=4可得 ，

解得： ，

∴該拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣8

（2）

解：存在直線CD垂直平分PN．

由函數(shù)解析式為y= x2﹣ x﹣8，可求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣6，0），

在Rt△AOC中，AC= = =10=AD，

故可得OD=AD﹣OA=4，點(diǎn)D在函數(shù)的對稱軸上，

∵線CD垂直平分PN，

∴∠PDC=∠NDC，PD=DN，

由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，

∴∠NDC=∠ACD，

∴DN//AC，

又∵DB=AB﹣AD=20﹣10=10=AD，

∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，

∴DN為△ABC的中位線，

∴DN= AC=5，

∴AP=AD﹣PD=AD﹣DN=10﹣5=5，

∴t=5÷1=5（秒），

∴存在t=5（秒）時(shí)，線段PN被直線CD垂直平分．

在Rt△BOC中，BC= = =2 ，

而DN為△ABC的中位線，N是BC中點(diǎn)，

∴CN= ，

∴點(diǎn)N的運(yùn)動速度為每秒 單位長度

（3）

解：存在，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于H，則NH= OC=4，

PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PNH中，PN= = =4 ，

①當(dāng)MP=MN，即M為頂點(diǎn)，則此時(shí)CD與PN的交點(diǎn)即是M點(diǎn)（上面已經(jīng)證明CD垂直平分PN），

設(shè)直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），

因?yàn)辄c(diǎn)C（0，﹣8），點(diǎn)D（4，0），

所以可得直線CD的解析式為：y=2x﹣8，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣6，

∴M1（1，﹣6）；

②當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)．

設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M（1，y），因?yàn)辄c(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，0），

從而可得PM2=22+y2，

又PN2=80，

則22+y2=80，

即y=±2 ，

∴M2（1，2 ），M3（1，﹣2 ）；

③當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且N為頂點(diǎn)，點(diǎn)N坐標(biāo)為（7，﹣4），

設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M（1，y），

則NM2=62+（y+4）2=80，

解得：y=2 ﹣4或﹣2 ﹣4；

∴M4（1，﹣4+2 ），M5（1，﹣4﹣2 ）．

綜上所述：存在這樣的五點(diǎn)：M1（1，﹣6），M2（1，2 ），M3（1，﹣2 ），M4（1，﹣4+2 ），M5（1，﹣4﹣2 ）．

【解析】（1）由題意拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14，0）和C（0，﹣8），對稱軸為x=4，根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線的解析式；（2）假設(shè)存在，設(shè)出時(shí)間t，則根據(jù)線段PN被直線CD垂直平分，再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t，看t是否存在；（3）假設(shè)直線x=1上是存在點(diǎn)M，使△MPN為等腰三角形，此時(shí)要分兩種情況討論：①當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)；②當(dāng)PN為等腰△MPN的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo)．