Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，BC＝，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，在AD上方作等邊三角形ADE，連接EC．

(1)求證：DE＝CE；

(2)若點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，其他條件不變，直接寫出DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系(不必證明)；

(3)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿著線段BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系為：；（3）點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

【解析】

（1）如圖（見解析），取AC的中點(diǎn)F，連接BF、EF，利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)推出，再由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得是等腰三角形，則有，又因，即可得證；

（2）如圖（見解析），取AC的中點(diǎn)G，連接BG、EG，利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)推出，再由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得是等腰三角形，則有，又因，從而可得；

（3）先確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑，再利用直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求得.

（1）如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF、EF

中，

是等邊三角形

又是等邊三角形

在和中，

是等腰三角形，且

，即；

（2）DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系為：，證明如下（注：考試時(shí)不要求）：

如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接BG、EG

中，

是等邊三角形

又是等邊三角形

在和中，

是等腰三角形，且

，即；

（3）如圖，取AC的中點(diǎn)H，連接OH

由題（1）可知，當(dāng)點(diǎn)D沿著線段BC運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定是等腰三角形

即點(diǎn)E一定在AC的垂直平分線上

因此，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿著線段BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E是從點(diǎn)H出發(fā)沿著HO運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，如圖，HO即為所求

中，

由題意得，是等邊三角形

由勾股定理得：

故所求的點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.