【題目】RtABC中,∠ACB=90°,以點A為圓心,AC為半徑,作⊙AAB于點D,交CA的延長線于點E,過點EAB的平行線EF交⊙A于點F,連接AF、BF、DF

(1)求證:BF是⊙A的切線.

(2)當∠CAB等于多少度時,四邊形ADFE為菱形?請給予證明.

【答案】(1)證明見解析;(2)當∠CAB=60°時,四邊形ADFE為菱形證明見解析;

【解析】

分析(1)首先利用平行線的性質得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS證得兩三角形全等,得出對應角相等即可;

(2)當∠CAB=60°時,四邊形ADFE為菱形,根據(jù)∠CAB=60°,得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,從而得到EF=AD=AE,利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷四邊形ADFE是菱形.

1)證明:∵EF∥AB

∴∠FAB=EFA,∠CAB=E

AE=AF

∴∠EFA =E

∴∠FAB=CAB

AC=AF,AB=AB

∴△ABC≌△ABF

∴∠AFB=ACB=90°, ∴BF是⊙A的切線.

2)當∠CAB=60°時,四邊形ADFE為菱形.

理由:∵EF∥AB

∴∠E=CAB=60°

AE=AF

∴△AEF是等邊三角形

∴AE=EF,

AE=AD

∴EF=AD

∴四邊形ADFE是平行四邊形

∵AE=EF

∴平行四邊形ADFE為菱形.

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