Question

如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（40，0）和（0，30），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)、動(dòng)直線EF從x軸開(kāi)始以每1個(gè)單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E、F，連接EP、FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求t=15時(shí)，△PEF的面積；
（2）直線EF、點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160（平方單位）？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于EF∥x軸，則S_△PEF=EF•OE．t=15時(shí)，OE=15，關(guān)鍵是求EF．易證△BEF∽△BOA，則，從而求出EF的長(zhǎng)度，得出△PEF的面積；
（2）假設(shè)存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進(jìn)行判斷，得出結(jié)論；
（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，則只能點(diǎn)O與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)，然后分兩種情況分別討論：①點(diǎn)P與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)；②點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)．
解答：解：（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，（2分）
∴（3分）
當(dāng)t=15時(shí)，OE=BE=15，OA=40，OB=30，
∴（4分）
∴S_△PEF=EF•OE=（平方單位）（5分）

（2）∵△BEF∽△BOA，
∴（6分）
∴
整理，得t²-30t+240=0（7分）
∵△=30²-4×1×240=-60＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
∴不存在使得△PEF的面積等于160（平方單位）的t值（8分）

（3）當(dāng)∠EPO=∠BAO時(shí)，△EOP∽△BOA（9分）
∴，即（10分）
解得，t=12（11分）
當(dāng)∠EPO=∠ABO時(shí)，△EOP∽△AOB（12分）
∴，即（13分）
解得，（14分）
∴當(dāng)t=12或時(shí)，△EOP∽△BOA（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，要注意最后一問(wèn)中，要分對(duì)應(yīng)角的不同來(lái)得出不同的對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．不要忽略掉任何一種情況．