Question

如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根據(jù)CE=

CD2-DE 2

求出CE，即可求出BC的長(zhǎng)；
（2）（i）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F，根據(jù)△CQF∽△CDE得出

QF

DE

=

CG

CD

=

CF

CE

，所以CF=

3

5

t，QF=

4

5

t，所以PG=t-

4

5

t=

1

5

t，QG=8-

3

5

t，然后分別用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，若DQ=PD，則（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，則（10-t）²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，最后解方程即可；
（ii）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10-t，此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無(wú)法構(gòu)成三角形；
（iii）當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD=DQ=t-10，此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立，從而得出最后答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E
∵四邊形ABCD是直角梯形
∴四邊形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE=

CD2-DE 2

=

10 2-8 2

=6
∴BC=8．

（2）（i）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F．
∵BP=t，CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵DE⊥BC，QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴

QF

DE

=

CQ

CD

=

CF

CE

，
∴

QF

8

=

t

10

=

CF

6

，
∴CF=

3

5

t，QF=

4

5

t，
∴PG=t-

4

5

t=

1

5

t，QG=8-

3

5

t，
∴PD²=AP²+AD²=（8-t）²+2²=t²-16t+68，
∴PQ²=QG²+PG²=（8-

3

5

t）²+（

1

5

t）²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，
若DQ=PD，則DQ²=PD²，
（10-t）²=t²-16t+68，
解得：t=8；
若DQ=PQ，則DQ²=PQ²，
（10-t）²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，
解得：t₁=

26-2 34

3

，t₂=

26+2 34

3

＞8（舍去），
此時(shí)t=

26-2 34

3

．
（ii）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10-t，
∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；
而當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無(wú)法構(gòu)成三角形；
（iii）當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD=DQ=t-10，
此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；
綜上，當(dāng)t=

26-2 34

3

或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是列出方程，并對(duì)求出的結(jié)果與本題相結(jié)合，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．