【題目】已知:如圖所示,拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(1,0),B(3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng),且滿足條件S△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)?并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C,問(wèn)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得△MAC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】【答案(1)拋物線解析式為 ;
(2)滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為(2,1),(,﹣1),(,﹣1);
(3)存在點(diǎn)M(2,﹣1),可使△AMC的周長(zhǎng)最小.
【解析】
(1)將A(1,0),B(3,0)代入拋物線中,列方程組可求拋物線解析式;
(2)由于AB=3﹣1=2,而,故△PAB中,AB邊上的高為1,即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±1,代入拋物線解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C',根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得C′(4,﹣3),連接直線AC′,求直線AC′的解析式,直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M
解:(1)依題意有 ,
∴b=4,c=﹣3,
∴拋物線解析式為 ;
(2)如圖,設(shè)P(x,y)
∵AB=2,
∴×2×|y|=1
∴y=±1
當(dāng)y=1時(shí),解得 ,
當(dāng)y=﹣1時(shí),解得,
∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為(2,1),(,﹣1),(,﹣1);
(3)存在.
過(guò)點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C',如圖
∵點(diǎn)C(0,﹣3),對(duì)稱軸為x=2,
∴C′(4,﹣3),
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b,
則,
∴k=﹣1,b=1,
∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1,
直線AC′與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)為(2,﹣1),即M(2,﹣1),
∴存在點(diǎn)M(2,﹣1),可使△AMC的周長(zhǎng)最�。�
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①9a﹣3b+c=0;②4a﹣2b+c>0;③方程ax2+bx+c﹣4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的兩根是x1=﹣2,x2=2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖像,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 函數(shù)y的最大值是4 B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
C. 當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而增大 D. 當(dāng)-4<x<1時(shí),函數(shù)值y>0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F.
(1)求證:BE=CF;
(2)如果AB=7,AC=5,求AE,BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠BAC的平分線與線段BC的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作PN垂直于AB于點(diǎn)N,PM垂直于AC于點(diǎn)M,BN和CM有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題6分)如圖,已知△ABC,∠C=Rt∠,AC<BC,D為BC上一點(diǎn),且到A,B兩點(diǎn)的距離相等.
(1)用直尺和圓規(guī),作出點(diǎn)D的位置(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);
(2)連結(jié)AD,若∠B=37°,求∠CAD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】標(biāo)有,,,,,六個(gè)數(shù)字的立方體的表面展開(kāi)圖如圖所示,擲這個(gè)立方體一次,記朝上一面的數(shù)為,朝下一面的數(shù)為,得到平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn).已知小華前二次擲得的兩個(gè)點(diǎn)所確定的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則他第三次擲得的點(diǎn)也在這條直線上的概率為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)計(jì)劃召開(kāi)“誠(chéng)信在我心中”主題教育活動(dòng),需要選拔活動(dòng)主持人,經(jīng)過(guò)全校學(xué)生投票推薦,有2名男生和1名女生被推薦為候選主持人.
(1)小明認(rèn)為,如果從3名候選主持人中隨機(jī)選拔1名,不是男生就是女生,因此選出的主持人是男生和女生的可能性相同,你同意他的說(shuō)法嗎?為什么?
(2)如果從3名候選主持人中隨機(jī)選拔2名,請(qǐng)通過(guò)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求選拔的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率.
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