Question

18、探索下列問題：
（1）在圖1給出的四個正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線和任意的直線），將每個正方形都分割成面積相等的兩部分；
（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過程中，將正六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為S₁和S₂．①請你在圖2中相應圖形下方的橫線上分別填寫S₁與S₂的數量關系式（用“＜”，“=”，“＞”連接）；
②請你在圖3中分別畫出反映S₁與S₂三種大小關系的直線n，并在相應圖形下方的橫線上分別填寫S₁與S₂的數量關系式（用“＜”，“=”，“＞”連接）．
（3）是否存在一條直線，將一個任意的平面圖形（如圖4）分割成面積相等的兩部分，請簡略說出理由．

Answer 1

分析：（1）易得只要過正方形對角線交點的任意直線都可平分正方形的面積，按照所給的方向畫即可；
（2）由（1）得只有過中心的直線才平分六邊形的面積．那么可根據所給的直線進行平移，以過六邊形的中心為界限；
（3）在分割所成的兩部分的面積不斷變化中，會出現面積相等的情況，所以存在．

解答：解：（1）
（2）①S₁＜S₂，S₁=S₂，S₁＞S₂（2分）
②S₁＜S₂，S₁=S₂，S₁＞S₂．（6分）

（3）存在．
對于任意一條直線l，在直線l從平面圖形的一側向另一側平移的過程中，
當圖形被直線l分割后，
設直線l兩側圖形的面積分別為S₁，S₂．
兩側圖形的面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變?yōu)镾₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形，
在這個平移過程中，一定會存在S₁=S₂的時刻．
因此，一定存在一條直線，將一個任意平面圖形分割成面積相等的兩部分．（8分）

點評：解決本題的關鍵是先得到只要過正多邊形中心的直線就能把正多邊形的面積分為相等的兩部分，進而得到存在把任意平面圖形分為面積相等的兩個圖形的情形．