Question

【題目】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°．D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)．連接AD，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)E，連接AE、DE．點(diǎn)M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，連接MN．

(1)如圖1，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上．

①猜想MN與AB的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

②連接EB，猜想BE與BC的位置關(guān)系；

(2)在圖2中，若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BE與BC的位置關(guān)系是否改變？請(qǐng)你補(bǔ)全圖形后，證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)①垂直，證明見(jiàn)解析；②垂直，理由見(jiàn)解析；(2)垂直，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①先判斷出AD＝AN，AC＝AM，進(jìn)而得出，判斷出△CAD∽△MAN，即可得出結(jié)論；

②先判斷出MN是AB的中垂線(xiàn)，得出AN＝BN，再判斷出AN＝DN＝EN＝DE，進(jìn)而得出DN＝EN＝BN，最后用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，同（1）②的方法，即可得出結(jié)論．

(1)①垂直，

理由：如圖1，

由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE，∠DAE＝90°，

∵點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，

∴∠DAN＝∠∠DAE＝45°，∠AND＝90°，

∴AD＝AN，

∴＝，

在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，AB＝AC，

∵M是AB的中點(diǎn)，

∴AM＝AB＝AC，

∴AC＝AM，

∴，

∴，

∵∠DAN＝∠BAC＝45°，

∴∠CAD＝∠MAN，

∴△CAD∽△MAN，

∴∠AMN＝∠ACD＝90°，

∴MN⊥AB；

②垂直；

理由：如圖2，

連接AB，BN，由①知，MN⊥AB，

∵M是AB的中點(diǎn)，

∴MN是AB的中垂線(xiàn)，

∴AN＝BN，

由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，

∴AN＝DN＝EN＝DE，

∴DN＝EN＝BN，

∴∠BDN＝∠DBN，∠BEN＝∠EBN，

∵∠BDE+∠BED+∠DBE＝180°，

∴∠BDN+∠BEN+∠DBN+∠EBN＝2∠DBN+2∠EBN＝2(∠DBN+∠EBN)＝2∠DBE＝180°，

∴∠DBE＝90°，

∴BE⊥BC；

(2)關(guān)系不改變，DE⊥BC，

理由：當(dāng)CD＜AC時(shí)，如圖3，

同(1)②的方法；

當(dāng)CD＞AC時(shí)，如圖4，

同(1)②的方法．