精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF是過點C的⊙O的切線,AD⊥EF于點D.
(1)求證:∠BAC=∠CAD;
(2)若∠B=30°,AB=12,求
AC
的長.
分析:(1)連接OC,由EF為圓O的切線,根據(jù)切線性質(zhì)得到OC與EF垂直,又AD與EF垂直,得到AD與OC平行,根據(jù)兩直線平行得到內(nèi)錯角∠OCA=∠CAD,由OA=OC,根據(jù)“等邊對等角”得到∠OCA=∠OAC,等量代換得證;
(2)由OA=OB,根據(jù)“等邊對等角”得到∠B=∠OCB=30°,又∠AOC為△BOC的外角,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AOC的度數(shù),即為弧AC所對的圓心角的度數(shù),然后由直徑AB的長,求出半徑的長,利用弧長公式即可求出
AC
的長.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OC,
∵EF是過點C的⊙O的切線.
∴OC⊥EF,又AD⊥EF,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠CAD,
又∵OA=OC,
∴∠OCA=∠BAC,
∴∠BAC=∠CAD;

(2)解:∵OB=OC,∴∠B=∠OCB=30°,
又∵∠AOC是△BOC的外角,
∴∠AOC=∠B+∠OCB=60°,
∵AB=12,
∴半徑OA=
1
2
AB=6,
AC
的長l=
60π•6
180
=2π.
點評:此題考查了切線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),以及弧長公式.遇到直線與圓相切,連接圓心與切點,是常常連接的輔助線,然后構(gòu)造直角三角形來解決問題.要求學(xué)生掌握切線的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì)以及弧長公式l=
nπr
180
(n為弧所對的圓心角度數(shù),r表示圓的半徑).
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是和⊙O相切于點B的切線,⊙O的弦AD平行于OC.
求證:DC是⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•門頭溝區(qū)一模)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,M為AB上一點,過點M作DM⊥AB,交弦AC于點E,交⊙O于點F,且DC=DE.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半徑的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1997•昆明)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,直線MN切⊙O于點C,AD⊥MN于D,AD交⊙O于E,AB的延長線交MN于點P.求證:AC2=AE•AP.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•平谷區(qū)二模)已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點E是
AD
的中點,連接BE交AC于點G,BG的垂直平分線CF交BG于H交AB于F點.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,過點B的弦BD⊥OC交⊙O于點D,垂足為E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=BD,且BD=12cm時,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果不取近似值).

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