Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD于點(diǎn)E.

(1)求證：∠BAM＝∠AEF；

(2)若AB＝4，AD＝6，cos∠BAM＝，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）由已知易得∠B=∠BAD=∠AFE=90°，由此可得∠BAM+∠EAM=90°，∠EAM+∠AEF=90°，∴∠BAM=∠AEF；

（2）由，可得AM=5，由F是AM的中點(diǎn)可得AF=2.5，由∠AEF=∠BAM，可得cos∠AEF=cos∠BAM=，∴sin∠AEF=，∴AE=，∴DE=AD-AE=.

試題解析：

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠BAD＝90°.

∵EF⊥AM，

∴∠AFE＝90°，

∴∠EAF＋∠BAM＝∠EAF＋∠AEF＝90°，

∴∠BAM＝∠AEF；

(2)在Rt△ABM中，∵∠B＝90°，AB＝4，cos∠BAM＝，

∴AM＝5.

∵F為AM的中點(diǎn)，

∴AF＝

∵∠BAM＝∠AEF，

∴cos∠BAM＝cos∠AEF＝.

∴sin∠AEF＝.

在Rt△AEF中，∵∠AFE＝90°，AF＝，sin∠AEF＝，

∴AE＝.

∴DE＝AD－AE＝6－＝.