Question

【題目】如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，過D作DF//AE交BC的延長線于點F，過點C作CG⊥DF于點G，延長AE、GC交于點H，點P是線段DG上的任意一點（不與點D、點G重合），連接CP，將△CPG沿CP翻折得到，連接. 若CH=1，則長度的最小值為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作DM⊥AE于M，首先證明四邊形DMHG是正方形，求出正方形DMHG的邊長，以及AC的長，因為點P在線段DG上運動時，點G′在以C為圓心，CG為半徑的圓上運動，所以當A、G′、C共線時，AG′最�。�由此即可解決問題．

解：如圖，作DM⊥AE于M．設CG=x，

∵AH∥DF，GH⊥DF，
∴∠MHG=∠HGD=∠DMH=90°，
∴四邊形DMHG是矩形，
∵∠ADC=∠MDG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
在△ADM和△CDG中，

,

∴△ADM≌△CDG（AAS），
∴DM=DG，
∴四邊形DMHG是正方形，

∴GH=DG，
∵CH=1，CG=x，
∴DG=CG+HC=x+1，

在Rt△DCG中，，

∴x=3，x=-4(舍去)，

∴CG′=CG=3，

在Rt△ADC中，AC= ，

∵點P在線段DG上運動時，點G′在以C為圓心，CG為半徑的圓上運動，
∴當A、G′、C共線時，AG′最小，
∴AG′的最小值為AC-CG′= .

故答案為：.