Question

已知整數(shù)a，b滿足：a-b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù)．當(dāng)a≥2012時(shí)，求a的最小值．

Answer 1

分析：由整數(shù)a，b滿足：a-b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù)，可設(shè)a-b=m（m是素?cái)?shù)），ab=n²（n是正整數(shù)），又由（a+b）²-4ab=（a-b）²，可得（2a-m）²-4n²=m²，然后利用平方差公式分解，即可得2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，繼而求得a=

(m+1)2

4

，n=

m2-1

4

，又由a≥2012，即可求得a的最小值．

解答：解：設(shè)a-b=m（m是素?cái)?shù)），ab=n²（n是正整數(shù)）．
∵（a+b）²-4ab=（a-b）²，
∴（2a-m）²-4n²=m²，
即：（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m²．
∵2a-m+2n與2a-m-2n都是正整數(shù)，且2a-m+2n＞2a-m-2n （m為素?cái)?shù)），
∴2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，
解得：a=

(m+1)2

4

，n=

m2-1

4

，
∴b=a-m=

(m-1)2

4

，
∵a≥2012，
∴

(m+1)2

4

≥2012，
∵m是素?cái)?shù)，
解得：m≥89，
此時(shí)，a≥

(89+1)2

4

=2025，
當(dāng)a=2025時(shí)，m=89，b=1936，n=1980．
∴a的最小值為2025．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了素?cái)?shù)與完全平方數(shù)的知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是設(shè)a-b=m（m是素?cái)?shù)），ab=n²（n是正整數(shù)），根據(jù)題意得到（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m²，繼而求得a=

(m+1)2

4

，n=

m2-1

4

．