Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB∥x軸，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，連接AC交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3），sinB=

3

5

．
（1）求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)E（8，n）在（2）中的拋物線上，請你在x軸上求一點(diǎn)F，使得△DEF是以DE為底邊的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)題意得出OA、OB、AB的長，先求出B的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
（2）本題需先設(shè)出拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx-3，然后列出方程組求出a、b的值，即可得出所求拋物線的解析式．
（3）本題需先求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為F（m，0），根據(jù)DF=EF列出方程，解出m的值，即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OA=3．
∵AB∥x軸，
∴∠OAB=90°．
∴sinB=

OA

OB

=

3

5

．
∴OB=5．
∴AB=4．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：B（4，-3）．
∵點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：C（-4，3），且OC=OB．
∴OD=

1

2

AB=2．
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：D（-2，0）；

（2）設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx-3，
∴

16a+4b-3=-3 16a-4b-3=3.

，
解得

a= 3 16 b=- 3 4 .

，
所求拋物線的解析式為y=

3

16

x2-

3

4

x-3；

（3）當(dāng)x=8時(shí)，y=

3

16

×64-

3

4

×8-3=3．
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：E（8，3）．
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為F（m，0），
∴DF=m+2．
過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，
∴EF²=EH²+FH²=3²+（8-m）²．
∵DF=EF，
∴（m+2）²=3²+（8-m）²．
解得

69

20

．
F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

69

20

，0）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要結(jié)合圖形列出方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．