【題目】問(wèn)題探究
(1)如圖①,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別是邊BC、CD上兩點(diǎn),且BM=CN,連接AM和BN,交于點(diǎn)P.猜想AM與BN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)如圖②,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng).連接AM和BN,交于點(diǎn)P,求△APB周長(zhǎng)的最大值;
問(wèn)題解決
(3)如圖③,AC為邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線,∠ABC=60°.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng).連接AM和BN,交于點(diǎn)P.求△APB周長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)AM⊥BN,證明見(jiàn)解析;(2)△APB周長(zhǎng)的最大值4+4;(3)△PAB的周長(zhǎng)最大值=2+4.
【解析】
試題根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN,即可證得AM⊥BN;
(2)如圖②,以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,連接EP,證明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可;
(3)如圖③,延長(zhǎng)DA到K,使得AK=AB,則△ABK是等邊三角形,連接PK,取PH=PB,證明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可.
試題解析:(1)結(jié)論:AM⊥BN.
理由:如圖①中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°,
∵BM=CN,
∴△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN,
∵∠CBN+∠ABN=90°,
∴∠ABN+∠BAM=90°,
∴∠APB=90°,
∴AM⊥BN.
(2)如圖②中,以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,連接EP.
∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°,
∴四邊形EFPG是矩形,
∴∠FEG=∠AEB=90°,
∴∠AEF=∠BEG,
∵EA=EB,∠EFA=∠G=90°,
∴△AEF≌△BEG,
∴EF=EG,AF=BG,
∴四邊形EFPG是正方形,
∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF,
∵EF≤AE,
∴EF的最大值=AE=2,
∴△APB周長(zhǎng)的最大值=4+4.
(3)如圖③中,延長(zhǎng)DA到K,使得AK=AB,則△ABK是等邊三角形,連接PK,取PH=PB.
∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,
∴△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°,
∴∠APB=120°,
∵∠AKB=60°,
∴∠AKB+∠APB=180°,
∴A、K、B、P四點(diǎn)共圓,
∴∠BPH=∠KAB=60°,
∵PH=PB,
∴△PBH是等邊三角形,
∴∠KBA=∠HBP,BH=BP,
∴∠KBH=∠ABP,∵BK=BA,
∴△KBH≌△ABP,
∴HK=AP,
∴PA+PB=KH+PH=PK,
∴PK的值最大時(shí),△APB的周長(zhǎng)最大,
∴當(dāng)PK是△ABK外接圓的直徑時(shí),PK的值最大,最大值為4,
∴△PAB的周長(zhǎng)最大值=2+4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和爸爸從家步行去公園,爸爸先出發(fā)一直勻速前行,小明后出發(fā).家到公園的距離為2500 m,如圖是小明和爸爸所走的路程s(m)與步行時(shí)間t(min)的函數(shù)圖象.
(1)直接寫(xiě)出小明所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明出發(fā)多少時(shí)間與爸爸第三次相遇?
(3)在速度都不變的情況下,小明希望比爸爸早20 min到達(dá)公園,則小明在步行過(guò)程中停留的時(shí)間需作怎樣的調(diào)整?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),完成下列各題:
將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為的形式,并寫(xiě)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸.
求出它的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
在直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出它的圖象.
根據(jù)圖象說(shuō)明:當(dāng)為何值時(shí),;當(dāng)為何值時(shí),.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD是菱形(四條邊都相等的平行四邊形).AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的兩邊分別與邊BC,DC相交于點(diǎn)E,F,且∠EAF=60°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí),直接寫(xiě)出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系為: .
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B,C重合),求證:BE=CF;
(3)求△AEF周長(zhǎng)的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了鼓勵(lì)居民在枯水期(當(dāng)年11月至第二年5月)節(jié)約用電,規(guī)定7:00至23:00為用電高峰期,此期間用電電費(fèi)y1(單位:元)與用電量x(單位:度)之間滿(mǎn)足的關(guān)系如圖所示;規(guī)定23:00至第二天早上7:00為用電低谷期,此期間用電電費(fèi)y2(單位:元)與用電量x(單位:元)之間滿(mǎn)足如表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)求y2與x的函數(shù)關(guān)系式;并直接寫(xiě)出當(dāng)0≤x≤180和x>180時(shí),y1與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若市民王先生一家在12月份共用電350度,支付電費(fèi)150元,求王先生一家在高峰期和低谷期各用電多少度.
低谷期用電量x度 | … | 80 | 100 | 140 | … |
低谷期用電電費(fèi)y2元 | … | 20 | 25 | 35 | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△OAB的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(3,0),B(2,3).
(1)畫(huà)出△OAB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△OA1B1,其中點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1,并直接寫(xiě)出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)C為y軸上一動(dòng)點(diǎn),連接A1C,B1C,求A1C+B1C的最小值并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在等邊的邊上,,射線,垂足為點(diǎn),點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)的值最小時(shí),,則的長(zhǎng)為___________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,AD⊥BD,垂足是D.
(1)求證:∠2=∠1+∠C;
(2)若ED∥BC,∠ABD=28°,求∠ADE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小丁在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遇到一個(gè)定義:對(duì)于排好順序的k個(gè)數(shù):x1,x2,…,xk,稱(chēng)為數(shù)列Ak:x1,x2,…,xk,其中k為整數(shù)且k≥3.
定義V(Ak)=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|.
例如,若數(shù)列A5:1,2,3,4,5,則V(A5)=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4.
根據(jù)以上材料,回答下列問(wèn)題:
(1)已知數(shù)列A3:3,5,﹣2,求V(A3).
(2)已知數(shù)列A4:x1,x2,x3,x4,其中x1,x2,x3,x4為4個(gè)互不相等的整數(shù),且x1=3,x4=7,V(A4)=4,直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的數(shù)列A4.
(3)已知數(shù)列A5:x1,x2,x3,x4,x5中的5個(gè)數(shù)均為非負(fù)整數(shù),且x1+x2+x3+x4+x5=25,請(qǐng)直接寫(xiě)出V(A5)的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的數(shù)列.
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