Question

【題目】（為方便答題，可在答題卡上畫出你認為必要的圖形）

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtRt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．

（1）如圖1，當(dāng)α=90°時，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ；（直接填寫結(jié)果）

（2）如圖2，當(dāng)α=135°時，求證：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ；

（3）求點P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）見解析；（3）1 +

【解析】

（1）結(jié)合圖1，根據(jù)勾股定理可求得BD1、CE1；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可證明三角形全等，然后由直角三角形的性質(zhì)可求得結(jié)論；

（3）由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，四邊形APD1E1為正方形時，距離最大．

解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），
∴當(dāng)α=90°時，AE1=2，∠E1AE=90°，

;

（2）證明：當(dāng)α=135°時，如下圖：

由旋轉(zhuǎn)可知∠D1AB=E1AC=135°

又AB=AC，AD1=AE1，

∴△D1AB ≌ △E1AC

∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA

設(shè)直線BD1與AC交于點F，有∠BFA=∠CFP

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，

∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則，
故∠ABP=30°，
則，
故點P到AB所在直線的距離的最大值為：．