Question

【題目】將含45°角的三角板的直角頂點(diǎn)R放在直線l上，分別過兩銳角的頂點(diǎn)M，N作l的垂線，垂足分別為P、Q，
（1）如圖1，觀察圖1可知：與NQ相等的線段是 ， 與∠NPQ相等的角是 ．

（2）直角△ABC中，∠B=90°，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L．試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）直角△ABC中，∠B=90°，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點(diǎn)T，如圖3，如果AC=kCE，CD=kCH，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）PR；∠PMR
（2）

解：∵四邊形ACEF是正方形，

∴AC=CE，∠ACE=90°，

∵EK⊥BK，

∴∠B=∠EKC=90°，

∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECK=90°，

∴∠BAC=∠ECK，

在△ABC與△CEK中， ，

∴△ABC≌△CEK，

∴EK=BC，

∵四邊形CDGH是正方形，∴CD=CH，∠DCH=90°，

∵HI⊥BC，

∴∠B=∠CIH=90°，

∴∠DCB+∠ICK=∠ICK+∠CHI=90°，∴∠DCB=∠CHI，

在△DCB與△CHI中， ，∴△DCB≌△CHI，

∴BC=HI，

∴EK=IH

（3）

解：如圖3，過E作EM⊥BC于M，過H作HN⊥BC于N，

∵四邊形ACEF是矩形，

∴∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECM=90°，

∴∠BAC=∠ECM，∴△ACB∽△ECM，

∴ =k，

∴BC=kEM，

同理△BCD∽△NHC，

∴ =K，

∴BC=kHN，

∴EM=HN，

在△NHT與△EMT中， ，

∴△NHT≌△EMT，

∴ET=HT．

【解析】解：（1）∵△MRN是等腰直角三角形，
∴MR=RN，∠MRN=90°，
∵M(jìn)P⊥PQ，NQ⊥PQ，
∴∠MPR=∠NQ=90°，
∴∠PMR+∠MRP=∠MRP+∠NRQ=90°，
∴∠PMR=∠NRQ，
在△MPR與△NRQ中， ，
∴△MPR≌△NRQ，
∴QN=PR，∠NRQ=∠PMR，
所以答案是：PR，∠PMR；
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等．