Question

如圖，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、A、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c
將A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入上式，得
，
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)B（1，4）；

（2）證明：如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M（0，4）．
在Rt△AOE中，
∵OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE===3．
在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圓的直徑．
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圓的切線；

（3）存在．
當(dāng)EP∥AD時(shí)，
∵E（0，3），
∴直線EP的解析式為y=3，
∴，解得；
當(dāng)AE∥DP時(shí)，
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（3，0），E（0，3），
∴，解得，
∴直線AE的解析式為y=-x+3，
設(shè)直線DP的解析式為y=-x+b，
∵D（-1，0），
∴1+b=0，解得b=-1，
∴直線DP的解析式為y=-x-1，
∴，解得或（舍去），
∴P（4，-5）；
當(dāng)DE∥AP時(shí)，
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵D（-1，0），E（0，3），
∴，解得，
∴直線DE的解析式為y=3x+3，
設(shè)直線AP的解析式為y=3x+b，
∵A（3，0），
∴9+b=0，解得b=-9，
∴直線AP的解析式為y=3x-9，
∴，解得或（舍去）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（4，-5）或（-4，-5）．
分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c將A（3，0），D（-1，0），E（0，3）代入即可得出a，b，c的值，進(jìn)而得出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M（0，4）．在Rt△AOE中，因?yàn)镺A=OE=3，所以∠1=∠2=45°，再根據(jù)勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)，同理可得出BE的長(zhǎng)，
（3）由于梯形的兩底邊不能確定，故應(yīng)分EP∥AD，AE∥DP，DE∥AP三種情況進(jìn)行分類討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，兩直線平行的相關(guān)知識(shí)，難度適中．