Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于兩點A，B，給出如下定義：以線段AB為邊的正方形稱為點A，B的“確定正方形”．如圖為點A，B 的“確定正方形”的示意圖．

（1）如果點M的坐標為（0，1），點N的坐標為（3，1），那么點M，N的“確定正方形”的面積為___________；

（2）已知點O的坐標為（0，0），點C為直線上一動點，當點O，C的“確定正方形”的面積最小，且最小面積為2時，求b的值．

（3）已知點E在以邊長為2的正方形的邊上，且該正方形的邊與兩坐標軸平行，對角線交點為P（m，0），點F在直線上，若要使所有點E，F的“確定正方形”的面積都不小于2，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）OC⊥直線于點C；① ；② ；（3）

【解析】

（1）求出線段MN的長度，根據正方形的面積公式即可求出答案；

（2）根據面積求出，根據面積最小確定OC⊥直線于點C，再分情況分別求出b；

（3）分兩種情況：當點E在直線y=-x-2是上方和下方時，分別求出點P的坐標，由此得到答案.

解：（1）∵M(0，1)，N（3,1），

∴MN∥x軸，MN=3,

∴點M，N的“確定正方形”的面積為,

故答案為：9；

（2）∵點O，C的“確定正方形”面積為2，

∴.

∵點O，C的“確定正方形”面積最小，

∴OC⊥直線于點C.

① 當b>0時，如圖可知OM=ON，△MON為等腰直角三角形，

可求，

∴

② 當時，同理可求

∴

（3）如圖2中，當正方形ABCD在直線y=-x-2的下方時，延長DB交直線y=-x-2于H，

∴BH⊥直線y=-x-2，

當BH=時，點E、F的“確定正方形”的面積的最小值是2，此時P（-6,0）；

如圖3中，當正方形ABCD在直線y=-x-2的上方時，延長DB交直線y=-x-2于H，

∴BH⊥直線y=-x-2，

當BH=時，點E、F的“確定正方形”的面積的最小值是2，此時P（2,0），

觀察圖象可知：當或時，所有點E、F的“確定正方形”的面積都不小于2