【題目】如圖,ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運(yùn)動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

(1)出發(fā)2秒后,求ABP的面積;

(2)當(dāng)t為幾秒時,BP平分∠ABC;

(3)t為何值時,BCP為等腰三角形?

(4)另有一點Q,從點C開始,按C→B→A→C的路徑運(yùn)動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發(fā),當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時,另一點也停止運(yùn)動.當(dāng)t為何值時,直線PQABC的周長分成相等的兩部分?

【答案】(1)18;(2)3;(3)t=6s或13s或12s或 10.8s 時△BCP為等腰三角形;(4)t為4或12秒時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分

【解析】試題分析:(1)、根據(jù)速度為每秒1cm,求出出發(fā)2秒后CP的長,然后就知AP的長,利用勾股定理求得PB的長,最后即可求得周長.(2)、因為ABCB,由勾股定理得AC="4" 因為AB5cm,所以必須使AC=CB,或CB=AB,所以必須使ACAB等于3,有兩種情況,△BCP為等腰三角形.(3)、分類討論:當(dāng)P點在AC上,QAB上,則PC=t,BQ=2t﹣3,t+2t﹣3=6;當(dāng)P點在AB上,QAC上,則AC=t﹣4AQ=2t﹣8,t﹣4+2t﹣8=6

試題解析:(1)、如圖1,由∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,

∴AC=4,動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運(yùn)動,且速度為每秒1cm,

出發(fā)2秒后,則CP=2, ∵∠C=90°, ∴PB==,

∴△ABP的周長為:AP+PB+AB=2+5+=7

(2)、如圖2,若P在邊AC上時,BC=CP=3cm,

此時用的時間為3s,△BCP為等腰三角形;

PAB邊上時,有三種情況: i)如圖3,若使BP=CB=3cm,此時AP=2cm,P運(yùn)動的路程為2+4=6cm,

所以用的時間為6s,△BCP為等腰三角形;

ii)如圖4,若CP=BC=3cm,過C作斜邊AB的高,根據(jù)面積法求得高為2.4cm, 作CD⊥AB于點D,

Rt△PCD中,PD===1.8, 所以BP=2PD=3.6cm

所以P運(yùn)動的路程為9﹣3.6=5.4cm, 則用的時間為5.4s△BCP為等腰三角形;

)如圖5,若BP=CP,此時P應(yīng)該為斜邊AB的中點,P運(yùn)動的路程為4+2.5=6.5cm

則所用的時間為6.5s△BCP為等腰三角形;

綜上所述,當(dāng)t3s、5.4s6s、6.5s時,△BCP為等腰三角形

(3)、如圖6,當(dāng)P點在AC上,QAB上,則PC=t,BQ=2t﹣3,

直線PQ△ABC的周長分成相等的兩部分, ∴t+2t﹣3=3, ∴t=2;

如圖7,當(dāng)P點在AB上,QAC上,則AP=t﹣4,AQ=2t﹣8

直線PQ△ABC的周長分成相等的兩部分, ∴t﹣4+2t﹣8=6, ∴t=6

當(dāng)t26秒時,直線PQ△ABC的周長分成相等的兩部分.

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