Question

【題目】在正方形ABCD和正方形AEFG中，點B在邊AG上，點D在線段EA的延長線上，連接BE．

（1）如圖1，求證：DG⊥BE；

（2）如圖2，將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點B恰好落在線段DG上．

①求證：DG⊥BE；

②若AB＝2，AG＝3，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②BE=.

【解析】

（1）延長EB，交DG于H，先證△DAG≌△BAE，即可得到∠DGA＝∠BEA，再證∠DHE＝90°即可；

（2）①原理同（1）；

②連接AC，交DG于點M，由正方形的對角線互相垂直平分即可求出AM=DM，再根據(jù)勾股定理即可求出MG從而求出DG，再根據(jù)①中全等即可得到線段BE的長.

（1）證明：延長EB，交DG于H，如圖1所示：

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAG＝∠BAE＝90°，

在△DAG和△BAE中，

∴△DAG≌△BAE （SAS）

∴∠DGA＝∠BEA，

又∵∠DGA+∠GDA＝90°，

∴∠BEA+∠GDA＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DG⊥BE；

（2）①證明：設AG交BE于N，如圖2所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵∠BAD＝90°，∠GAE＝90°，

∴∠BAD+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，

即∠DAG＝∠BAE，

在△DAG和△BAE中，，

∴△DAG≌△BAE （SAS），

∴∠AGD＝∠AEB，

又∵∠BNG＝∠ANE，

∴∠GBE＝∠GAE＝90°，

∴DG⊥BE；

②解：如圖3，連接AC，交DG于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝2，

∴AC⊥BD，AD＝AB＝2，且△ADM是等腰直角三角形，

∴AM＝DM＝AD＝，

在Rt△AMG中，，

∴，

由①知，△DAG≌△BAE，

∴．