【題目】如圖1,在ABCD中,AE⊥BC于E,E恰為BC的中點(diǎn),tanB=2。

(1)求證:AD=AE;

(2)如圖2,點(diǎn)P在BE上,作EF⊥DP于點(diǎn)F,連結(jié)AF,求證:DF-EF=AF;

(3)請你在圖3中畫圖探究:當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)(P不與點(diǎn)E重合)時(shí),作EF⊥DP于點(diǎn)F,連結(jié)AF,線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出你的結(jié)論為____________。

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)畫圖見解析,

①當(dāng)EP在線段BC上時(shí),DFEF=AF

②當(dāng)EP2BC時(shí),DF+EF=AF.

【解析】試題分析:1)首先根據(jù)∠B的正切值知:AE=2BE,而EBC的中點(diǎn),結(jié)合平行四邊形的對邊相等即可得證.

2)此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解;作GAAF,交BDG,通過證AFE≌△AGD,來得到AFG是等腰直角三角形且EF=GD,由此得證.

3)輔助線作法和解法同(2),只不過結(jié)論有所不同而已.

試題解析:

1)在RtABE中,∠AEB=90°,

tanB==2,

AE=2BE。

EBC的中點(diǎn),

BC=2BE

AE=BC。

ABCD是平行四邊形,

AD=BC,

AE=AD。

2)在DP上截取DH=EF(如圖

∵四邊形ABCD是平行四邊形,AEBC,

∴∠EAD=90°。

EFPD,l=2,

∴∠ADH=AEF。

AD=AE,

∴△ADH≌△AEF,

∴∠HAD=FAE,AH=AF

∴∠FAH=90°。

RtFAH中,AH=AF,

FH=AF,

FH=FD-HD=FD-EF=AF。

DF-EF=AF。

3)按題目要求所畫圖形見圖,

①當(dāng)EP在線段BC上時(shí),DFEF=AF

②當(dāng)EP2BC時(shí),DF+EF=AF.

③當(dāng)EP>2BC時(shí),EFDF=AF.

點(diǎn)睛:此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì),難度適中,正確的構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

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