【題目】四邊形ABCD為菱形,點(diǎn)P為對角線BD上的一個(gè)動點(diǎn).

1)如圖1,連接AP并延長交BC的延長線于點(diǎn)E,連接 PC,求證AEB=PCD.

2)如圖1,當(dāng)PA=PDPCBE時(shí),求∠ABC的度數(shù).

3)連接AP并延長交射線BC于點(diǎn)E,連接 PC,若∠ABC=90°ΔPCE是等腰三角形,求得∠PEC的度數(shù) 3 直接寫出結(jié)果,不寫過程

【答案】1證明見解析;260°;(330°120°

【解析】試題分析:1)利用菱形的性質(zhì),易得∠PDA=PDC,AD=CD,利用SAS定理證得PAD≌△PCD,由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到結(jié)論;

2)首先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAD=PDA,設(shè)∠PAD=PDA=x,利用外角性質(zhì)易得∠BPC=2x,因?yàn)?/span>PCBE,得x,得∠ABC的度數(shù);

3)分類討論:①當(dāng)點(diǎn)EBC的延長線上時(shí),首先利用等腰三角形的性質(zhì)得CP=CE,易得∠BCP=CPE+CEP=2CEP,由正方形的性質(zhì)得∠PBA=PBC=45°,由全等三角形的判定得ABP≌△CBP,易得∠BAP=BCP=2CEP,因?yàn)椤?/span>BAP+PEC=90°,求得∠PEC的度數(shù);②當(dāng)點(diǎn)EBC上時(shí),同理得出結(jié)論.

試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠PDA=PDC,AD=CDADBC,

PADPCD中,

,

PADPCD(SAS),

∴∠PAD=PCD

又∵ADBC,

∴∠AEB=PAD=PCD;

(2)如圖1

PA=PD,

∴∠PAD=PDA,

設(shè)∠PAD=PDA=x,則∠BPC=PDC+PCD=PDA+PAD=2x,

PCBE,

2x+x=90°,

x=30°

∴∠ABC=2x=60°;

(3)①當(dāng)點(diǎn)EBC的延長線上時(shí),如圖2,

PCE是等腰三角形,CP=CE,

∴∠BCP=CPE+CEP=2CEP

∵四邊形ABCD是菱形,ABC=90°,

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠PBA=PBC=45°,

ABPCBP中,

,

ABPCBP(SAS)

∴∠BAP=BCP=2CEP,

∵∠BAP+PEC=90°,2PEC+PEC=90°,

∴∠PEC=30°;

②當(dāng)點(diǎn)EBC上時(shí),如圖3,

PCE是等腰三角形,則PE=CE,

∴∠BEP=CPE+PCE=2ECP,

∵四邊形ABCD是菱形,ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠PBA=PBC=45°,又AB=BCBP=BP,

ABPCBP,

∴∠BAP=BCP,

∵∠BAP+AEB=90°,2BCP+BCP=90°

∴∠BCP=30°,

∴∠AEB=60°,

∴∠PEC=180°AEB=120°,

綜上所述:∠PEC=30°或∠PEC=120°.

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年人均收入

10500

10700

10800

10900

11500

村莊個(gè)數(shù)

1

1

3

3

1

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