Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．
（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若（1）中拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若把（1）中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N（點F在點N的左側）兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對稱和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理可以求出OC的長度，從而求出點C的坐標．再根據(jù)直線的解析式求出A、B的坐標，最后利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）的解析式可以轉(zhuǎn)化為頂點式而求出頂點坐標D，利用B、C的坐標求出BC的解析式，假設在直線BC上存在滿足條件的點P，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)求出點P的坐標，得到點P不在直線BC上，而得出結論．
（3）平移后根據(jù)（1）的解析式可以得到平移后的解析式，頂點坐標及對稱軸，可以求出與坐標軸的交點F、N、E的坐標，連接EF，根據(jù)E、F的坐標求出其解析式，求出EF與對稱軸的交點，就是Q點．

解答：解：（1）連接CH
由軸對稱得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO
∴在△CHA中由勾股定理，得
AC²=CH²+AH²
∵直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點
∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=8
∴B（0，6），A（8，0）
∴OB=6，OA=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=10
設C（a，0），∴OC=a
∴CH=a，AH=4，AC=8-a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得
（8-a）²=a²+4²解得
a=3
C（3，0）
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，由題意，得

6=c 0=64a+8b+c 0=9a+3b+c

解得：

a= 1 4 b=- 11 4 c=6

∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x2-

11

4

x+6
∴y=

1

4

(x-

11

2

)2-

25

16

（2）由（1）的結論，得
D（

11

2

，-

25

16

）
∴DF=

25

16

設BC的解析式為：y=kx+b，則有

6=b 0=3k+b

解得

b=6 k=-2

直線BC的解析式為：y=-2x+6
設存在點P使四邊形ODAP是平行四邊形，P（m，n）
作PE⊥OA于E，HD交OA于F．
∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA
∴∠POE=∠DAF
∴△OPE≌△ADF
∴PE=DF=n=

25

16

∴

25

16

=-2x+6
×=

71

32

P（

5

2

，

25

16

）
當x=

5

2

時，
y=-2×

5

2

+6=1≠

25

16

∴點P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點P．

（3）由題意得，平移后的解析式為：
y=

1

4

(x-2)2-

25

16

∴對稱軸為：x=2，
當x=0時，y=-

9

16

當y=0時，0=

1

4

(x-2)2-

25

16

解得：x1=-

1

2

，x2=

9

2

∵F在N的左邊
F（-

1

2

，0），E（0，-

9

16

），N（

9

2

，0）
連接EF交x=2于Q，設EF的解析式為：y=kx+b，則有

0=- 1 2 k+b - 9 16 =b

解得：

k=- 9 8 b=- 9 16

∴EF的解析式為：y=-

9

8

x-

9

16

∴

y=- 9 8 x- 9 16 x=2

解得：

x=2 y=- 45 16

∴Q（2，-

45

16

）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的方法，圖象的平移，平行四邊形的判定及性質(zhì)以及最值的確定等多個知識點．