Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)+k2+3k-4=0．

(1) 試判斷上述方程根的情況并說明理由；

(2) 若以上一元二次方程的兩個(gè)根分別為、(),

① m=________,n=_________；

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B分別是直線：y=kx+上兩點(diǎn)且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，直線與軸相交于點(diǎn)C，若S△BOC=2S△AOC，求的值；

（3）在(2)的條件下，問在軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)在軸上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，理由略；(2)①m=k-1 n=k+4；② k=；(3)(0，) .

【解析】

（1）根據(jù)判別式的值即可判斷；

（2）①根據(jù)一元二次方程的求根公式即可得出；

②先根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于m，n的式子，再將m= k-1，n= k+4代入，即可得出答案；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使△ABQ的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)在軸上，則此時(shí)y軸就是∠AQB的角平分線，從而得知點(diǎn)B（，5）和對(duì)稱點(diǎn)B'（-，5）在直線AQ上，待定系數(shù)法可得直線AQ的解析式，由點(diǎn)Q在y軸上即可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）∵x2-(2k+3)x+k2+3k-4=0，

∴△=b2-4ac=（2k+3）2-4（k2+3k-4）=4k2+12k+9-4k2-12k+16=25>0，

∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）①∵一元二次方程的求根公式x=，

∴m= = ==k-1，

n====k+4．

② ∵S△BOC=2S△AOC，

S△BOC=××（），

S△AOC=××（），

∴××（）×2=××（），

∴2（）=，

2km-kn=-，

將m= k-1，n= k+4代入，得：2k（k-1）-k（k+4）+=0，

解得：k=或，

∵0<k<1，

∴k=．

（3）由（2）得知，直線l：，A（，），B（，5），

假設(shè)存在點(diǎn)Q，使△ABQ的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)在軸上，則此時(shí)y軸就是∠AQB的角平分線，

∴B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)必在直線AQ上，設(shè)為B'，

∵B（，5），

∴B'（-，5）．

∴直線AQ過A（，），B'（-，5）得到AQ的直線方程為：，

∵點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)x=0時(shí)，y=，

∴Q（0，）．