Question

【題目】[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上（如圖①）
[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的⊙O上嗎？
我們知道，如果點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，那么點(diǎn)D要么在⊙O外，要么在⊙O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說(shuō)明了點(diǎn)D不在⊙O外．請(qǐng)結(jié)合圖④證明點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)．
【證】
[結(jié)論]綜上可得結(jié)論，如果∠ACB=∠ADB=α（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上，即：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
[應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：
如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（α為銳角）得△ADE，連接BE、CD，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F；
（1）用含α的代數(shù)式表示∠ACD的度數(shù)；
（2）求證：點(diǎn)B、C、A、F四點(diǎn)共圓；
（3）求證：點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠ACD=90°﹣ ；
（2）∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣ α，∴∠ACD=∠ABE，

∴B、C、A、F四點(diǎn)共圓；

（3）∵B、C、A、F四點(diǎn)共圓，

∴∠BFA+∠BCA=180°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠BFA=90°，

∴AF⊥BE，

∵AB=AE，

∴BF=EF，

即點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)．

【解析】【思考】【證】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ADB＞∠AEB，于是得到∠ADB＞∠ACB，于是得到結(jié)論； 【應(yīng)用】（1）由題意可知，AC=AD，∠CAD=α，∴∠ACD=90°﹣ ；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE=90°﹣ α，同時(shí)代的∠ACD=∠ABE，即可得到結(jié)論；（3）由B、C、A、F四點(diǎn)共圓，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．