Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．

⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
⑶點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1)–2 = 0，解得b =
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (, -).
（2）當(dāng)x = 0時(shí)y = -2,      ∴C（0，-2），OC = 2。
當(dāng)y = 0時(shí)， x₂-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ = 4,    ∴B (4,0)
∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.
∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².               ∴△ABC是直角三角形.
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：設(shè)直線C′D的解析式為y =" kx" + n ,
則，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴當(dāng)y = 0時(shí)， ，
 .    ∴.

（1）根據(jù)拋物線過(guò)A（-1，0）點(diǎn)，直接求出b的值，再根據(jù)配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）分別求出三角形三邊，即可得出三角形的形狀；
（3）首先可求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求得C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是m的值．